Инвариантная энергия

Инвариантная энергия произвольной системы есть положительная величина, состоящая из всех видов энергии системы, и равная релятивистской энергии, измеренной неподвижным относительно центра импульсов системы наблюдателем. В состав инвариантной энергии как правило входят энергия покоя вещества; потенциальная энергия собственных электромагнитных и гравитационных полей, связанных с системой; внутренняя энергия частиц системы; энергия системы во внешних полях; энергия излучения, взаимодействующего с системой. Инвариантная энергия частицы $~E_0$ равна её энергии покоя и в силу принципа эквивалентности массы и энергии связана с инвариантной массой $~M$ частицы соотношением: $$~E_0= Mc^2,$$

где $~c$ — скорость света.

Порядок вычисления инвариантной энергии через различные виды энергии системы определяется принципом суммирования энергий.

Связь с другими физическими переменными

Одна частица

В рамках специальной теории относительности инвариантная энергия частицы может быть вычислена либо через её релятивистскую энергию $~E$ и импульс $~ \mathbf {p}$, либо через релятивистскую энергию и скорость $~v$ : $$~E_0= \sqrt {E^2-p^2 c^2}=E \sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}.$$

Для фотона справедливо соотношение $~ E=p c$, так что инвариантная энергия фотона равна нулю.

В четырёхмерном формализме в пространстве Минковского энергия $~E_0$ может быть вычислена через 4-импульс $~ p^{\mu}=M u^{\mu}$ частицы: $$~E_0= c \sqrt { \eta_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}= Mc \sqrt {u_{\mu} u^{\mu}}= Mc^2,$$

где $~\eta_{\mu \nu}$ есть метрический тензор пространства Минковского, $~ u^\mu = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right)$ — 4-скорость, $~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$ — фактор Лоренца.

В результате 4-импульс может быть представлен через инвариантную энергию: $$~ p^\mu =\frac { E_0 u^\mu }{c^2} = \left(\frac {\gamma E_0}{c},\gamma M{\mathbf {v}}\right) = \left(\frac {\gamma E_0}{c}, \mathbf {p} \right) ,$$

где $~\mathbf {p}$ — 3-вектор релятивистского импульса.

В искривлённом пространстве-времени с метрическим тензором $~ g_{\mu \nu}$ инвариантная энергия частицы находится так: $$~E_0= c \sqrt { g_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}= Mc \sqrt { g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu}}.$$

Если учесть определение 4-скорости: $~ u^{\mu} = \frac {dx^{\mu} }{d\tau}$, где $~ dx^{\mu}$ есть 4-вектор сдвига, $~ d\tau$ — дифференциал собственного времени, а также определение интервала: $~ ds = \sqrt { g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} }= c d\tau$, то снова получается равенство: $~E_0= Mc^2$.

Система частиц

В физике элементарных частиц часто рассматривается взаимодействие нескольких частиц, их слияния и распады с образованием новых частиц. Сохранение суммы 4-импульсов свободных частиц до и после реакции приводит к законам сохранения энергии и импульса рассматриваемой системы частиц. Инвариантная энергия $~E_{0c}$ системы частиц вычисляется как их полная релятивистская энергия в системе отсчёта, в которой центр импульсов системы частиц неподвижен. При этом $~E_{0c}$ может отличаться от суммы инвариантных энергий частиц системы, поскольку вклад в $~E_{0c}$ делают не только энергии покоя частиц, но и кинетические энергии частиц и их потенциальная энергия. Если наблюдать частицы до или после взаимодействия на больших расстояниях друг от друга, когда их взаимной потенциальной энергией можно пренебречь, инвариантная энергия системы определяется соотношением: $$~E_{0c}= \sqrt {E_c^2 - p_c^2 c^2},$$

где $~E_c =\sum_i E_i$ — сумма релятивистских энергий частиц системы, $~\mathbf {p}_c =\sum_i \mathbf {p}_i$ — векторная сумма импульсов частиц.

Массивное тело

Общая теория относительности

При определении инвариантной энергии массивного тела в общей теории относительности (ОТО) возникает проблема с вкладом энергии гравитационного поля, поскольку тензор энергии-импульса гравитационного поля однозначно не определён, а вместо него используется псевдотензор [1]. В случае асимптотически плоского пространства-времени на бесконечности для оценки инвариантной энергии может быть применено приближение АДМ массы-энергии тела, смотри также [2]. Для стационарной метрики пространства-времени определяется масса-энергия Комара. [3] Существуют и другие подходы к определению массы-энергии, например, энергия Бонди, и энергия Хокинга [4].

В приближении слабого поля инвариантная энергия неподвижного тела в ОТО оценивается следующим образом: $$~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 + E_k - \frac {6G m^2_b}{5a}+ \frac {3 q^2_b}{20 \pi \varepsilon_0 a}+E_p,$$

где масса $~ m_b$ и заряд $~ q_b$ тела получаются путём интегрирования соответствующей плотности по объёму, $~ E_k$ — энергия движения частиц внутри тела, $~ G$ — гравитационная постоянная, $~ a$ — радиус тела, $~ \varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~ E_p$ — упругая энергия.

Для масс получается соотношение: $$~ M= m_g < m_b < m',$$ где инертная масса системы $~ M$ равна гравитационной массе $~ m_g$, масса $~ m'$ обозначает суммарную массу частиц, из которых составлено тело.

Ковариантная теория гравитации

В ковариантной теории гравитации (КТГ) при вычислении инвариантной энергии учитывается разбиение энергии на 2 основные части — на компоненты энергии самих полей и на компоненты, связанные с энергией частиц в этих полях. Подсчёт показывает, что сумма компонент энергии поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитных полей, для тела сферической формы равна нулю. Остаётся сумма энергий частиц в четырёх полях, которая в итоге равна: $$~E_{0}= Mc^2 \approx m_b c^2 \gamma_s - \frac {3G m^2_b}{10a}+ \frac {3 q^2_b}{40 \pi \varepsilon_0 a} + m_b \wp_s ,$$ где $~ \gamma_s$ есть фактор Лоренца частиц, а $~ \wp_s$ — скалярный потенциал поля давления вблизи поверхности системы.

Соотношение для масс выглядит следующим образом: $~m' = M < m_ b = m_g.$ При этом инертная масса системы $~ M$ получается равной суммарной массе частиц $~ m'$, масса $~ m_b$ равна гравитационной массе $~ m_g$, а превышение $~ m_b$ над $~ M$ происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точное выражение для инвариантной энергии представлено в следующей статье: $$~E_{0}= Mc^2 \approx m_b c^2 \gamma_s - \frac {G m^2_b}{2a}+ \frac {q^2_b}{8 \pi \varepsilon_0 a} + m_b \wp_s .$$

Для случая релятивистской однородной системы инвариантную энергию можно выразить так: $$~E_{0}= Mc^2 \approx m_b c^2 - \frac {1}{10\gamma_c } \left( 7- \frac {27}{2 \sqrt {14}} \right) \left( \frac {G m^2_b}{a}- \frac {q^2_b}{4 \pi \varepsilon_0 a} \right) .$$

Это приводит к изменению соотношения для масс: $$~m' < M < m < m_b = m_g .$$

Здесь калибровочная масса $~m'$ связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; $~M$ есть инертная масса системы; вспомогательная масса $~m$ равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса $~m_b$ есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_g$ системы.

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ), в которую переходит КТГ в приближении слабого поля и при постоянной скорости движения, для инвариантной энергии остаётся справедливой формула: $$~ E_{0}= \sqrt {E^2-p^2 c^2},$$

где $~E$ — релятивистская энергия движущегося тела с учётом вклада энергии гравитационного и электромагнитного поля, а также энергии поля ускорений и поля давления; $~p$ — суммарный импульс системы в виде тела и его полей.

Указанные формулы остаются в силе и на уровне атомов с тем отличием, что обычная гравитация заменяется на сильную гравитацию. В ковариантной теории гравитации с учётом принципа наименьшего действия показывается, что гравитационная масса $~ m_g$ системы увеличивается за счёт вклада массы-энергии гравитационного поля и уменьшается за счёт вклада электромагнитной массы-энергии. Это является следствием того, что в ЛИТГ и в КТГ точно определён тензор энергии-импульса гравитационного поля, являющийся одним из источников для определения метрики, энергии и уравнений движения вещества и поля. Также определены ковариантным способом тензор энергии-импульса поля ускорений, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления.

Такие векторные поля, как гравитационное и электромагнитное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поля сильного и слабого взаимодействий являются компонентами общего поля. Это приводит к тому, что инвариантная энергия системы из частиц и полей может быть вычислена как интеграл по объёму в системе центра импульсов: $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$$

где $~ s_0$ и $~ J^0$ обозначают временные компоненты 4-потенциала $~ s_{\mu }$ общего поля и массового 4-тока $~ J^{\mu }$, соответственно, $~ s_{ \mu\nu}$ — тензор общего поля.

См. также

• Инвариантная масса
• Принцип суммирования энергий
• Предел массы-энергии поля
• Общее поле
• Поле диссипации
• Поле ускорений
• Поле давления
• Теорема энергии поля

Внешние ссылки

• Invariant energy