Тензор энергии-импульса гравитационного поля

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тензор энергии-импульса гравитационного поля — симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность энергии и импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с  тензором энергии-импульса поля ускорений, тензором энергии-импульса поля давления, тензором энергии-импульса поля диссипации и тензором энергии-импульса электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт плотность гравитационной силы, действующей на вещество.

Лоренц-инвариантная теория гравитации (ЛИТГ)[править | править код]

В ЛИТГ тензор энергии-импульса гравитационного поля определяется через тензор гравитационного поля   Φ i k ~\Phi_{ik} и метрический тензор   η i k ~ \eta^{ik} в метрике Лоренца:[1]   U i k = − c g 2 4 π G ( − η i m Φ n m Φ n k + 1 4 η i k Φ m r Φ m r ) , ~ U^{ik} = - \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -\eta^{im}\Phi_{n m}\Phi^{n k}+ \frac{1} {4} \eta^{ik}\Phi_{mr}\Phi^{mr}\right) ,

где   G ~ G  — гравитационная постоянная,   c g ~ c_{g}  — скорость гравитации.

После замены   G ~ G на постоянную сильной гравитации   Γ ~ \Gamma тензор энергии-импульса гравитационного поля может быть использован для описания сильной гравитации на уровне атомов и элементарных частиц в рамках гравитационной модели сильного взаимодействия.

Компоненты тензора энергии-импульса гравитационного поля[править | править код]

Так как тензор гравитационного поля в ЛИТГ состоит из компонент векторов напряжённости гравитационного поля   Γ ~ \mathbf{ \Gamma} и поля кручения   Ω ~ \mathbf{\Omega} , а тензор   η i k ~ \eta^{ik} в 4-координатах (ct, x, y,z) состоит из чисел 0, 1, −1 и не зависит от координат и времени, то компоненты тензора энергии-импульса гравитационного поля могут быть выписаны явно через компоненты указанных векторов:   U i k = | u H x c g H y c g H z c g c g P g x u + Γ x 2 + c g 2 Ω x 2 4 π G Γ x Γ y + c g 2 Ω x Ω y 4 π G Γ x Γ z + c g 2 Ω x Ω z 4 π G c g P g y Γ x Γ y + c g 2 Ω x Ω y 4 π G u + Γ y 2 + c g 2 Ω y 2 4 π G Γ y Γ z + c g 2 Ω y Ω z 4 π G c g P g z Γ x Γ z + c g 2 Ω x Ω z 4 π G Γ y Γ z + c g 2 Ω y Ω z 4 π G u + Γ z 2 + c g 2 Ω z 2 4 π G | . ~ U^{ik} = \begin{vmatrix} u & \frac {H_x}{c_{g}} & \frac {H_y}{c_{g}} & \frac {H_z}{c_{g}} \\ c_{g} P_{gx} & u+ \frac{\Gamma^2_x+c^2_g \Omega^2_x}{4\pi G} & \frac{\Gamma_x \Gamma_y+c^2_g \Omega_x\Omega_y }{4\pi G} & \frac{\Gamma_x \Gamma_z+c^2_g \Omega_x\Omega_z }{4\pi G} \\ c_{g} P_{gy} & \frac{\Gamma_x \Gamma_y+c^2_g \Omega_x\Omega_y }{4\pi G} & u+\frac{\Gamma^2_y+c^2_g \Omega^2_y }{4\pi G} & \frac{\Gamma_y \Gamma_z+c^2_g \Omega_y\Omega_z }{4\pi G} \\ c_{g} P_{gz} & \frac{\Gamma_x \Gamma_z+c^2_g \Omega_x\Omega_z }{4\pi G} & \frac{\Gamma_y \Gamma_z+c^2_g \Omega_y\Omega_z }{4\pi G} & u+\frac{\Gamma^2_z+c^2_g \Omega^2_z }{4\pi G} \end{vmatrix}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии гравитационного поля, отрицательная по величине   U 00 = u = − 1 8 π G ( Γ 2 + c g 2 Ω 2 ) . ~ U^{00} = u= -\frac{1}{8 \pi G }\left(\Gamma^2+ c^2_{g} \Omega^2 \right). 2) вектор плотности импульса гравитационного поля   P g = 1 c g 2 H , ~\mathbf{P_g} =\frac{ 1}{ c^2_{g}} \mathbf{H}, где вектор плотности потока энергии гравитационного поля или вектор Хевисайда   H = − c g 2 4 π G [ Γ × Ω ] . ~\mathbf{H} =-\frac{ c^2_{g} }{4 \pi G }[\mathbf{\Gamma }\times \mathbf{\Omega }].

Компоненты вектора   H ~\mathbf{H} входят в соответствующие компоненты тензора   U 01 , U 02 , U 03 ~ U^{01}, U^{02}, U^{03} , а компоненты вектора   P g ~\mathbf{P_g}  — в компоненты тензора   U 10 , U 20 , U 30 ~ U^{10}, U^{20}, U^{30} , при этом вследствие симметрии тензора по индексам   U 01 = U 10 , U 02 = U 20 , U 03 = U 30 ~ U^{01}= U^{10}, U^{02}= U^{20}, U^{03}= U^{30} .

Согласно теореме Хевисайда, выполняется соотношение:   ∇ ⋅ H = − ∂ U 00 ∂ t − Γ ⋅ J , ~ \nabla \cdot \mathbf{H} = - \frac{ \partial U^{00}}{\partial t} - \mathbf{\Gamma }\cdot \mathbf{J}, где   J ~\mathbf{J}  — 3-вектор плотности массового тока.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса, или тензором гравитационных напряжений, взятым со знаком минус. Тензор гравитационных напряжений можно записать в следующем виде:[1]   σ p q = 1 4 π G ( − Γ p Γ q − c g 2 Ω p Ω q + 1 2 δ p q ( Γ 2 + c g 2 Ω 2 ) ) , ~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi G } \left( - \Gamma^p \Gamma^q - c^2_g \Omega^p \Omega^q + \frac {1}{2} \delta^{pq} (\Gamma^2 + c^2_g \Omega^2 ) \right) ,

где   p , q = 1 , 2 , 3 , ~p,q =1,2,3,   Γ 1 = Γ x , ~\Gamma^1=\Gamma_x,   Γ 2 = Γ y , ~\Gamma^2=\Gamma_y,   Γ 3 = Γ z , ~\Gamma^3=\Gamma_z,   Ω 1 = Ω x , ~\Omega^1=\Omega_x,   Ω 2 = Ω y , ~\Omega^2=\Omega_y,   Ω 3 = Ω z , ~\Omega^3=\Omega_z,   δ p q ~\delta^{pq} есть символ Кронекера,   δ p q = 1 ~\delta^{pq}=1 при    p = q , ~p=q, и    δ p q = 0 ~\delta^{pq}=0 при    p ≠ q . ~p \not=q.

Вычисление трёхмерной дивергенции от тензора гравитационных напряжений даёт:   ∂ q σ p q = f p + 1 c g 2 ∂ H p ∂ t , ~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2_g} \frac{ \partial H^p}{\partial t}, где   f p ~ f^p обозначают компоненты трёхмерной плотности гравитационной силы,   H p ~ H^p  — компоненты вектора Хевисайда.

Гравитационная сила[править | править код]

Вид тензора энергии-импульса гравитационного поля таков, что он позволяет найти 4-вектор плотности гравитационной силы   f α ~ f^\alpha посредством дифференцирования в четырёхмерном пространстве:   f α = − ∂ β U α β = Φ α i J i . ( 1 ) ~ f^\alpha = -\partial_\beta U^{\alpha \beta} = {\Phi^\alpha}_{i} J^i . \qquad (1)

Как видно из формулы (1), 4-вектор плотности гравитационной силы может быть вычислен и другим путём, через тензор гравитационного поля со смешанными индексами Φ α i {\Phi^\alpha}_{i} и 4-вектор плотности массового тока   J i ~J^i . Это связано с тем, что в ЛИТГ уравнения гравитационного поля имеют вид:   ∂ n Φ i k + ∂ i Φ k n + ∂ k Φ n i = 0 , ~ \partial_n \Phi_{ik} + \partial_i \Phi_{kn} + \partial_k \Phi_{ni}=0,   ∂ k Φ i k = 4 π G c g 2 J i . ~\partial_k \Phi^{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J^i .

Выражая из последнего уравнения   J i ~J^i через Φ i k \Phi^{ik} и подставляя в (1), а также используя определение тензора энергии-импульса гравитационного поля, можно убедиться в справедливости равенства (1). Компоненты 4-вектора плотности гравитационной силы таковы:   f α = ( Γ ⋅ J c g , f ) , ~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{\Gamma } \cdot \mathbf{J} }{c_g}, \mathbf{f} ), где   f = ρ Γ + [ J × Ω ] ~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{\Gamma } + [\mathbf{J} \times \mathbf{\Omega} ]  — 3-вектор плотности гравитационной силы,   ρ ~\rho  — плотность движущегося вещества,   J = ρ v ~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v}  — 3-вектор плотности массового тока,   v ~\mathbf{v}  — 3-вектор скорости движения элемента вещества.

Интеграл от (1) по трёхмерному объёму малой частицы или элемента вещества, вычисляемому в сопутствующей частице системе отсчёта, даёт гравитационную 4-силу:   F α = Φ α i M u i = Φ α i p i = ( Γ ⋅ p c g , E c g 2 Γ + [ p × Ω ] ) . ~ F^\alpha = {\Phi^\alpha}_{i} M u^i= {\Phi^\alpha}_{i} p^i = (\frac {\mathbf{\Gamma } \cdot \mathbf{p} }{c_g}, \frac{E}{ c^2_g } \mathbf{\Gamma }+ [\mathbf{p} \times \mathbf{\Omega}]) .

При интегрировании было учтено, что   J i = ρ 0 u i ~J^i = \rho_0 u^i , где   ρ 0 ~ \rho_0  — плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта,   M ~ M  — инвариантная масса,   u i ~ u^i  — 4-скорость частицы,   p i ~ p^i  — 4-импульс частицы,   p ~\mathbf{p}  — релятивистский импульс,   E ~E  — релятивистская энергия частицы. Предполагается также, что плотности вещества   ρ 0 ~ \rho_0 и    ρ ~ \rho учитывают в себе вклады от массы-энергии собственного поля гравитации и электромагнитного поля частицы. Полученная 4-сила действует на частицу при наличии гравитационного поля с тензором   Φ α i ~ {\Phi^\alpha}_{i} , причём в ряде случаев можно пренебречь собственным гравитационным полем частицы и рассматривать её движение лишь во внешнем поле.

Связь с 4-вектором энергии-импульса[править | править код]

В тензоре энергии-импульса гравитационного поля содержатся временные компоненты   U 0 k ~ U^{0k} , путём интегрирования которых по движущемуся объёму можно вычислить 4-вектор энергии-импульса свободного гравитационного поля, оторвавшегося от своих источников:   Q k = ∫ U 0 k c g d V = ( U c g , Q ) , ~ Q^k = \int {\frac { U^{0k}}{ c_g } dV} = (\frac {U}{c_g}, \mathbf {Q}) ,

где   U = ∫ U 00 d V ~ U = \int { U^{00} dV}  — суммарная энергия гравитационного поля,   Q = ∫ P g d V ~ \mathbf {Q} = \int { \mathbf {P_g}dV}  — суммарный импульс поля.

В случае, если в рассматриваемом объёме присутствует вещество как источник собственного гравитационного (электромагнитного) поля, следует рассматривать общий 4-вектор энергии-импульса, который включает в себя вклады от всех полей в данном объёме, включая поле ускорений и поле давления. В частности, для однородного сферического тела радиуса   R ~ R 4-вектор энергии-импульса с учётом собственного гравитационного поля тела имеет вид:[2]   p k = ( m g + U 0 2 c g 2 ) u k = M u k , ~ p^k = (m_g + \frac {U_0}{2c^2_g}) u^k =M u^k ,

где   m g ~ m_g  — гравитационная масса, равная массе   m b ~ m_b , получаемой через плотность массы и объём,   U 0 = − 3 G m g 2 5 R ~ U_0 = - \frac {3 G m^2_g}{5R}  — полная гравитационная энергия тела в системе отсчёта, в которой тело неподвижно,   M ~ M  — инвариантная инертная масса системы, включающая вклады массы-энергии от всех полей.

При этом предполагается, что масса   M ~ M равна массе   m ′ ~ m' частиц вещества тела без учёта энергии их гравитационной связи, а при соединении частиц в единое тело основная часть гравитационной энергии компенсируется внутренней энергией движения частиц тела и энергией давления. Поскольку энергия   U 0 ~ U_0 отрицательна, то выполняется условие   m b = m g > M = m ′ ~ m_b =m_g > M =m' , то есть по мере гравитационного сжатия рассеянного вещества в тело конечных размеров гравитационная масса растёт. Мы можем найти ещё инвариантную энергию физической системы:   E 0 = M c 2 = c g i k p i p k . ~ E_0 =Mc^2= c \sqrt {g_{ik}p^i p^k } .

Более точный анализ масс системы показывает, что выполняется следующее соотношение:[3]   m ′ < M < m < m b = m g , ~m' < M < m < m_b = m_g ,

где калибровочная масса   m ′ ~m' связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; инертная масса   M ~M ; вспомогательная масса   m ~m равняется произведению плотности массы частиц на объём системы.

Для сравнения укажем на подход общей теории относительности, в которой исходят из массы   m b ~ m_b такой, что при добавлении к ней массы от энергии гравитационного поля получается релятивистская масса:   M = m b + U 0 c 2 ~ M = m_b + \frac {U_0}{c^2} , при этом выполняется соотношение:   m g = M < m b < m ′ ~ m_g = M < m_b < m' .

Ковариантная теория гравитации (КТГ)[править | править код]

КТГ является обобщением ЛИТГ на любые системы отсчёта и на явления, происходящие в присутствии полей и ускорений от действующих сил. В КТГ все отклонения от соотношений ЛИТГ описываются с помощью метрического тензора   g i k ~ g^{ik} , становящегося функцией координат и времени. Кроме этого, в уравнениях оператор 4-градиента   ∂ k ~ \partial_k заменяется на  ковариантную производную   ∇ k ~ \nabla_k . После замены   η i k ~ \eta^{ik} на    g i k ~ g^{ik} тензор энергии-импульса гравитационного поля приобретает следующий вид:   U i k = − c g 2 4 π G ( − g i m Φ n m Φ n k + 1 4 g i k Φ m r Φ m r ) . ~ U^{ik} = - \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -g^{im}\Phi_{n m}\Phi^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik}\Phi_{mr}\Phi^{mr}\right) .

Гравитационное поле рассматривается при этом как компонента общего поля.

Преобразуя контравариантные индексы в тензоре гравитационного поля   Φ m r ~ \Phi^{mr} в ковариантные индексы с помощью метрического тензора, и меняя местами часть индексов, по которым осуществляется суммирование, получаем:   U i k = − c g 2 4 π G g m s ( − g i r g n k + 1 4 g i k g n r ) Φ m r Φ s n . ~ U^{ik} = - \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }g^{ms} \left( - g^{ir} g^{n k} + \frac{1} {4} g^{ik} g^{n r} \right) \Phi_{m r}\Phi_{s n}.

Так как тензор гравитационного поля   Φ m r ~ \Phi_{mr} с ковариантными индексами состоит из компонент вектора напряжённости гравитационного поля   Γ ~ \mathbf{\Gamma } , делённой на скорость   c g ~ c_g , и компонент вектора поля кручения   Ω ~ \mathbf{\Omega} , то из формулы видно, что в искривлённом пространстве-времени тензор энергии-импульса гравитационного поля является суммой произведений компонент этих векторов с соответствующими коэффициентами из компонент метрического тензора. При этом оказывается, что в плотности энергии гравитационного поля   U 00 ~ U^{00} присутствуют смешанные произведения вида   Γ x Ω y ~ \Gamma_x \Omega_y и т. д. Подобных произведений нет в плоском пространстве Минковского, что приводит к тому, что в пространстве-времени специальной относительности энергия, связанная с напряжённостью гравитационного поля, не смешивается с энергией поля кручения. Такая же ситуация и в электромагнетизме: в пространстве Минковского энергия электрического поля вычисляется отдельно от энергии магнитного поля, но в искривлённом пространстве-времени в плотности энергии электромагнитного поля появляется ещё дополнительная энергия от смешанных компонент с произведениями компонент напряжённостей электрического и магнитного полей.

Из-за использования ковариантного дифференцирования в четырёхмерном пространстве в КТГ изменяются как уравнения гравитационного поля, так и выражение для 4-вектора плотности гравитационной силы (1), при этом выражение для гравитационной 4-силы остаётся прежним:[4]   ∇ n Φ i k + ∇ i Φ k n + ∇ k Φ n i = 0 , ~ \nabla_n \Phi_{ik} + \nabla_i \Phi_{kn} + \nabla_k \Phi_{ni}=0,   ∇ k Φ i k = 4 π G c g 2 J i , ~\nabla_k \Phi^{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J^i ,   f α = − ∇ β U α β = Φ α i J i , ~ f^\alpha = -\nabla_\beta U^{\alpha \beta} = {\Phi^\alpha}_{i} J^i ,   F α = Φ α i M u i = Φ α i p i . ~ F^\alpha = {\Phi^\alpha}_{i} M u^i= {\Phi^\alpha}_{i} p^i.

Уравнение для метрики[править | править код]

В КТГ метрический тензор определяется путём решения уравнения, подобного уравнению Гильберта-Эйнштейна. В ковариантных индексах это уравнение записывается так:[5]   R i k − 1 4 g i k R = 8 π G β c 4 ( B i k + P i k + U i k + W i k ) , ~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),

где   R i k = R n i n k ~ R_{ik}={R^n}_{ink}  — тензор Риччи,   R = R i k g i k ~ R=R_{ik}g^{ik}  — скалярная кривизна,   g i k ~ g^{ik}  — метрический тензор,   β ~ \beta  — коэффициент, подлежащий определению,   B i k ~ B_{ik} ,   P i k ~ P_{ik} ,   U i k ~ U_{ik} и    W i k ~ W_{ik}  — соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, и предполагается, что скорость гравитации   c g ~ c_g равна скорости света.

В отличие от общей теории относительности, в данном уравнении отсутствует космологическая постоянная   Λ ~ \Lambda , имеется дополнительная константа   β ~ \beta , а метрика оказывается зависящей от тензора энергии-импульса гравитационного поля. Последнее является следствием того, что в КТГ гравитация является самостоятельной физической силой, как и электромагнитная сила, и потому участвует в определении метрики в соответствии с принципами метрической теории относительности.

Уравнение движения[править | править код]

Использование принципа наименьшего действия позволяет вывести не только формулу для тензора энергии-импульса гравитационного поля, но и даёт уравнение движения, записанное в тензорной форме:   ∇ β ( B α β + U α β + W α β + P α β ) = 0. ( 2 ) ~ \nabla_\beta \left( {B_\alpha}^\beta + {U_\alpha}^\beta +{W_\alpha}^\beta + {P_\alpha}^\beta \right) = 0. \qquad (2)

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений с точностью до знака даёт определение плотности 4-силы, действующей со стороны вещества на поле. При этом в отношении 4-потенциала   U α ~ U_\alpha поля ускорений в римановом пространстве применяется оператор производной по собственному времени:[6]   f α = ∇ β B α β = − u α k J k = ρ 0 D U α D τ − J k ∇ α U k = ρ 0 d U α d τ − J k ∂ α U k , ~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,

где   u α k ~ u_{\alpha k}  — тензор ускорений,   τ ~\tau  — собственное динамическое время частицы в системе её покоя.

Суммарная плотность 4-силы от гравитационного и электромагнитного полей и поля давления определяется путём переноса тензоров энергии-импульса полей в правую часть уравнения движения (2) с последующим применением ковариантной производной:   f α = − ∇ β ( U α β + W α β + P α β ) = Φ α k J k + F α k j k + f α k J k , ~ f_\alpha = - \nabla_\beta \left( {U_\alpha}^\beta + {W_\alpha}^\beta + {P_\alpha}^\beta \right) = \Phi_{\alpha k} J^k + F_{\alpha k} j^k + f_{\alpha k} J^k ,

где   F α k ~ F_{\alpha k}  — тензор напряжённостей электромагнитного поля,   f α k ~ f_{\alpha k}  — тензор поля давления,   j k = ρ 0 q u k ~j^k = \rho_{0q} u^k  — 4-вектор плотности электромагнитного тока,   ρ 0 q ~\rho_{0q}  — плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя.

Законы сохранения[править | править код]

В пределе слабого поля, когда ковариантная производная может быть заменена частной производной, для временной компоненты в (2), у которой индекс   i = 0 ~ i=0 , локальный закон сохранения энергии-импульса вещества и гравитационного и электромагнитного полей можно записать так:[7] [8]   ∇ ⋅ ( K + H + P + F ) = − ∂ ( B 00 + U 00 + W 00 + P 00 ) ∂ t , ~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},

где   K ~ \mathbf{K}  — вектор плотности потока энергии поля ускорений,   H ~ \mathbf{H}  — вектор Хевисайда,   P ~ \mathbf{P}  — вектор Пойнтинга,   F ~ \mathbf{F}  — вектор плотности потока энергии поля давления, определённые в рамках специальной теории относительности.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Анализ уравнения (2) для пространственных компонент с индексом   i = 1 , 2 , 3 ~ i=1,2,3 в слабом поле показывает, что с учётом уравнения движения вещества в поле все плотности сил и скорости изменения импульсов вещества и поля взаимно сокращаются.

Однако в общем случае, когда пространство-время заметно искривлено имеющимися полями и веществом, в (2) необходимо учитывать вклады с дополнительными ненулевыми компонентами метрического тензора и их производными, отсутствующие в специальной теории относительности. Это следует из того, что ковариантная производная выражается через частную производную и через коэффициенты Кристоффеля. Поскольку в КТГ целью использования метрического тензора является коррекция уравнений движения с тем, чтобы учесть зависимость от величины полей измеряемых с помощью электромагнитных (гравитационных) волн промежутков времени и пространственных расстояний, то подобная коррекция изменяет и форму многих физических величин в виде 4-векторов и тензоров. В частности, если рассматривать уравнение (2) как локальный закон сохранения энергии-импульса вещества и гравитационного и электромагнитного полей, то появление в нём дополнительных вкладов с участием компонент метрического тензора приводит к уточнению теории для случая искривлённого пространства. При этом физический смысл результатов, полученных для плоского пространства-времени и слабого поля, остаётся неизменным.

В качестве другого примера можно рассмотреть интеграл от левой части (2) по всему четырёхмерному пространству. В плоском пространстве Минковского ковариантная дивергенция от суммы тензоров становится обычной 4-дивергенцией, к которой можно применить формулу Гаусса-Остроградского. Согласно этой формуле интеграл от 4-дивергенции какого-либо тензора по 4-пространству может быть заменён на интеграл от тензора по гиперповерхности, окружающей 4-объём, по которому происходит интегрирование. Если выбрать проекцию такой гиперповерхности на гиперплоскость постоянного времени в виде трёхмерного объёма, интеграл от левой части (2) преобразуется в интеграл по объёму от суммы временных компонент тензоров в (2), который должен равняться некоторому сохраняющемуся интегральному вектору рассматриваемой физической системы:   Q i = ∫ ( B i 0 + U i 0 + W i 0 + P i 0 ) d V . ~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }.

Для указанных компонент тензоров интегральный вектор   Q i ~ \mathbb{Q}^i обращается в нуль.[7] Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия гравитационного или электромагнитного поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно [8] обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей. Отсюда следует, что интегральный вектор   Q i ~ \mathbb{Q}^i не может рассматриваться как 4-импульс системы, определяя лишь распределение энергии и потоков энергии полей системы.[9]

Общая теория относительности (ОТО)[править | править код]

В ОТО существует проблема с определением тензора энергии-импульса гравитационного поля. Причина заключается в том, что вследствие применяемого принципа геометризации физики все проявления гравитации полностью заменяются геометрическим эффектом — искривлением пространства-времени. Таким образом, гравитационное поле сводится к метрическому полю, задаваемому метрическим тензором и его производными по координатам и времени. Поскольку в каждой системе отсчёта получается своя собственная метрика, то и гравитация оказывается не самостоятельным физическим взаимодействием, а полагается следствием метрики системы отсчёта. Это приводит к тому, что вместо тензора энергии-импульса гравитационного поля в ОТО присутствует псевдотензор, зависящий от метрики. Особенностью этого псевдотензора является то, что локально он может быть сделан равным нулю в любой точке путём выбора соответствующей системы отсчёта. В итоге в ОТО вынуждены отказаться от возможности точно определять локализацию гравитационной энергии и импульса гравитационного поля в физической системе, что существенно мешает понять физику гравитации на фундаментальном уровне и описать явления в классическом виде.

Уравнения Гильберта-Эйнштейна в ОТО предназначены для нахождения метрики:   R i k − 1 2 g i k R + g i k Λ = 8 π G c 4 ( t i k + W i k ) . ~ R_{ik} - \frac{1} {2 }g_{ik}R + g_{ik} \Lambda = \frac{8 \pi G }{ c^4} \left( t_{ik} + W_{ik} \right).

В этих уравнениях нет тензора энергии-импульса гравитационного поля, присутствующего в правой части уравнений для метрики в КТГ. Метрика в ОТО зависит только от вещества и электромагнитного поля в рассматриваемой системе отсчёта. После нахождения такой метрики она используется для отыскания псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля, причём этот псевдотензор должен зависеть только от метрического тензора, быть симметричным по индексам, а в сумме с тензором энергии-импульса вещества   t i k ~ t_{ik} и тензором энергии-импульса электромагнитного поля давать нулевую дивергенцию для выполнения закона сохранения энергии-импульса вещества и поля. Данный псевдотензор в условиях слабого поля, то есть в специальной теории относительности, должен исчезать для того, чтобы обеспечивать принцип эквивалентности свободного падения в поле тяготения и движения по инерции.

Указанным критериям соответствует псевдотензор Ландау-Лифшица.[10] Существует также псевдотензор Эйнштейна, но он не симметричен по индексам.[11] Заметим, что в отличие от ОТО под псевдотензором в математике понимается нечто другое, а именно тензорная величина, меняющая свой знак при преобразовании в координатную систему отсчёта с противоположной ориентацией базиса.

Поскольку в ОТО тензора энергии-импульса гравитационного поля нет, гравитационная энергия тела определяется косвенным путём. Например, один из способов заключается в том, чтобы по заданной плотности вещества и размеру тела вычислить массу тела, вначале в отсутствие влияния метрики, а затем с учётом влияния метрики и соответствующего изменения элемента объёма в интеграле массы под действием гравитационного поля. Разность указанных масс приравнивается к массе-энергии гравитационного поля, как к проявлению метрического поля.[12] При этом используются значения метрического тензора, находимого в ОТО из уравнения Гильберта-Эйнштейна для метрики.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. ↑ а б Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  2. ↑ Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1‒16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  3. ↑ Fedosin S.G. The Mass Hierarchy in the Relativistic Uniform System. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 38 D (Physics), No. 2, pp. 73‒80 (2019). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2019.00012.5. // Иерархия масс в релятивистской однородной системе.
  4. ↑ Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  5. ↑ Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1‒30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  6. ↑ Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12‒30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  7. ↑ а б Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, pp. 152‒167 (2014). http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.
  8. ↑ а б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19‒40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.
  9. ↑ Fedosin S.G. The covariant additive integrals of motion in the theory of relativistic vector fields. Bulletin of Pure and Applied Sciences, Vol. 37 D (Physics), No. 2, pp. 64‒87 (2018). http://dx.doi.org/10.5958/2320-3218.2018.00013.1. // Ковариантные аддитивные интегралы движения в теории релятивистских векторных полей.
  10. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  11. ↑ Albert Einstein. Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie. (The Hamiltonian principle and general relativity). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111‒1116.
  12. ↑ Abhas Mitra. Why Gravitational Contraction Must be Accompanied by Emission of Radiation both in Newtonian and Einstein Gravity. Phys. Rev. D74, (2006), 024010.

Внешние ссылки[править | править код]

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Тензор_энергии-импульса_гравитационного_поля&oldid=749424