Арктангенс

Функция arctg

Файл:Arctangent-ru.svg

График функции $y=\arctg\, x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла $y$, выраженное в радианах, для которого $\tg y = x, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.$

Функция $y=\arctg x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

• $\tg\,(\arctg\, x)=x$ при $x \in \mathbb R,$
• $\arctg\,(\tg\, y)=y$ при $-\frac{\pi}{2}$
• $D(\arctg\,x) = (-\infty; \infty)$ (область определения),
• $E(\arctg\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ (область значений).

Свойства функции arctg

• $\arctg (- x) = -\arctg x \qquad$ (функция является нечётной).
• $\arctg x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$
• $\arctg x = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, при x > 0.
• $\arctg x = \arcctg \frac{1}{x}.$
• $\arctg x = -i \arth {ix}$, где $\arth$ — гиперболический ареатангенс.
• $\arth x = i \arctg {ix}.$
• $\arctg \frac{x+y}{y}-\arctg \frac{x}{x+2y}=\frac{\pi}{4}, \quad (x\ne -2y;\, y\ne 0).$
• $\arctg \frac{x}{2y-x}-\arctg \frac{x-y}{y}=\frac{\pi}{4}, \quad (x\ne 2y;\, y\ne 0).$
• $\arctg \frac{2x+y}{y}-\arctg \frac{x}{x+y}=\frac{\pi}{4}, \quad (x\ne -y;\, y\ne 0).$
• $\arctg \frac{x}{y-x}-\arctg \frac{2x-y}{y}=\frac{\pi}{4}, \quad (x < y ;\, y > 0).$
• $\arctg \frac{2x-y}{y}-\arctg \frac{x}{y-x}=\frac{3\pi}{4}, \quad (x>y ;\, y > 0).$

Получение функции arctg

Дана функция $y=\tg\, x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\arctg\, x$ функцией не является (так как нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).$ На этом отрезке $y=\tg\, x$ строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ существует обратная $y=\arctg\, x$, график которой симметричен графику $y=\tg\,x$ на отрезке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ относительно прямой $y=x.$