Базис

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Ба́зис — набор некоторых объектов в заданной формальной теории, через которые может быть выражен (представлен) произвольный объект этой теории. Базисы существуют во многих областях математики, в первую очередь, в линейной алгебре, комбинаторной логике и т. д.

Базис в линейной алгебре[править]

Базистом в линейной алгебре называется набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, и при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.

В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается.

Некоторые свойства базиса:

  1. Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
  2. Для любого вектора существует, и при том единственное, представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.
  3. Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.

Бесконечномерные пространства[править]

Понятие базиса обобщается на бесконечномерный случай, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис и, соответственно, континуальную размерность.

См. также[править]