Линейное пространство

Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Введённые операции подчинены восьми аксиомам. Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, которые используются, к примеру, для демонстрации физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы.

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Методология данного раздела математики позволила подробно изучить такого рода структуру через призму одной из главных её характеристик — размерности векторного пространства. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к геометрической частности, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств, где в качестве векторов выступают функции. Некоторые проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Решение таких вопросов достигается при рассмотрении векторных пространств с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет обратиться к проблемам близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор — тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие открытие векторных пространств, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение

Линейное, или векторное пространство $V \left( F \right)$ над полем $F$ — это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\cdot)$, где $$V$$— непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами; $$F$$— (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами; $$+\colon V\times V\to V$$— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, обозначаемый $\mathbf{x} + \mathbf{y}$; $$\cdot\colon F\times V\to V$$— операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу $\lambda$ поля $\in F$ и каждому элементу $\mathbf{x}$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, обозначаемый $\lambda\mathbf{x}$; причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$, для любых $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V$ (коммутативность сложения);
2. $\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}$, для любых $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V$ (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент $\theta \in V$, что $\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in V$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности $V$ не пусто;
4. для любого $\mathbf{x} \in V$ существует такой элемент $-\mathbf{x} \in V$, что $\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta$ (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. $\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
6. $1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
7. $(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}$ (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. $\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}$(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве $V$ структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами.

В качестве дополнительной (девятой) аксиомы векторного пространства иногда используют следующую: размерность пространства равна некоторому натуральному числу (если существует максимальная линейно независимая система векторов данного пространства или, что тоже самое, существует конечная порождающая система векторов данного пространства), и тогда такое пространство называют конечномерным, или говорят, что пространство бесконечномерное (если не существует конечной порождающей системы векторов данного пространства). В соответствии с этим, теория линейных (векторных) пространств разделяется на две различные части: теорию конечномерных пространств, в которой существенным оказывается алгебраический аспект, и теорию бесконечномерных пространств, где главным оказывается аспект анализа — вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент $\theta \in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. $0\cdot\mathbf{x} = \theta$ для любого $\mathbf{x} \in V$.
4. Для любого $\mathbf{x} \in V$ противоположный элемент $-\mathbf{x} \in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. $(-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in V$.
6. $(-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})$ для любых $\alpha \in F$ и $\mathbf{x} \in V$.
7. $\alpha\cdot\theta = \theta$ для любого $\alpha \in F$.

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в $V$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как $Lat(V)$. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. $\theta\in K$;
2. для всякого вектора $\mathbf{x}\in K$, вектор $\alpha\mathbf{x}$ также принадлежал $K$, при любом $\alpha\in F$;
3. для всяких векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K$, вектор $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ также принадлежал $K$.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K$, вектор $\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}$ также принадлежал $K$ для любых $\alpha, \beta \in F$.

В частности, пространство, состоящее из одного элемента $\{\theta\}$, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
• Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств $\{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\}$ определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов $K_i$:

$\sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}$.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида $$\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$$ называется линейной комбинацией элементов $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in V$ с коэффициентами $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F$.

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

Линейная комбинация называется барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1, и сбалансированной, если эта сумма равна 0.

Базис. Размерность

Элементы $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу $\theta$. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из $V$ называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать, что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами.

Свойства базиса:

• Любые $n$ линейно независимых элементов $n$-мерного пространства образуют базис этого пространства.
• Любой вектор $\mathbf{x} \in V$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

$$\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n.$$

Линейная оболочка

Линейная оболочка $\mathcal V(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $V$ — пересечение всех подпространств $V$, содержащих $X$.

Линейная оболочка является подпространством $V$.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным $X$. Говорят также, что линейная оболочка $\mathcal V(X)$ натянута на множество $X$.

Линейная оболочка $\mathcal V(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из $X$. В частности, если $X$ — конечное множество, то $\mathcal V(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов $X$.

Если $X$ — линейно независимое множество, то оно является базисом $\mathcal V(X)$ и тем самым определяет его размерность.

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций $X\to F$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности $X$.
• Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
• Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

• Нормированное векторное пространство
• Метрическое векторное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Евклидово пространство
• Пространство Минковского
• Гильбертово пространство

См. также

• Линейный оператор
• Сопряжённое пространство
• Модуль над кольцом
• Выпуклый функционал
• Линейная независимость
• Конечномерное пространство
• Прямая сумма
• Аффинное пространство

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — МЦНМО, 1998.^{о книге}
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — Москва: Физико-математическая литература, 2010. — ISBN 978-5-9221-0481-4^{о книге}
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — Москва: Наука, 1986.^{о книге}