Рациональное число
Рациона́льное число́ — число, представляемое обыкновенной дробью , где — целое число, — натуральное число. При этом число называется числителем, а число — знаменателем дроби .
Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде Множество является счётным.
Множество рациональных чисел является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ) относительно операций сложения и умножения дробей.
Каждое рациональное число является алгебраическим.
Формальное определение[править | править код]
Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:
Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, дроби 3/5, 7/8, 1/2 — правильные дроби, 8/3, 9/5 — неправильные дроби. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби (например, 2 3/7) называется смешанным.
Счётность множества[править | править код]
Докажем, что множество всех пар натуральных чисел счётно. Назовём высотой пары число . Имеется ровно пара с высотой , а именно . Обозначим конечное множество пар высотой . Очевидно, множество , как объединение счётного числа конечных множеств, счётно.
Каждому положительному дробному числу взаимнооднозначно соответствует несократимая дробь и, следовательно, пара натуральных чисел . Множество пар, соответствующих несократимым дробям есть подмножество множества , а значит, как подмножество счётного множества является или конечным, или счётным. Подмножество рациональных чисел , очевидно, счётно, из чего следует, что и множество рациональных чисел счётно.
Литература[править | править код]
- И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
- П.С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977
- И.Л.Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем
См. также[править | править код]
натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли
иррациональные | трансцендентные |