Рациональное число

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Рациона́льное число́ — число, представляемое обыкновенной дробью \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, \(n\) — натуральное число. При этом число \(m\) называется числителем, а число \(n\) — знаменателем дроби \(\frac{m}{n}\).

Множество рациональных чисел обозначается \(\mathbb{Q}\) и может быть записано в виде $$\mathbb{Q} = \left\{ x\in \mathbb{R} \mid \exists m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} : x=\frac{m}{n} \right\}.$$ Множество \(\mathbb{Q}\) является счётным.

Множество рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел \(\mathbb{Z}\)) относительно операций сложения и умножения дробей.

Каждое рациональное число является алгебраическим.

Формальное определение[править]

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар \(\left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\}\) по отношению эквивалентности \((m,\;n)\sim (m',\;n')\), если \(m\cdot n'=m'\cdot n\). При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

  • \(\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);\)
  • \(\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).\)

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, дроби 3/5, 7/8, 1/2 — правильные дроби, 8/3, 9/5 — неправильные дроби. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби (например, 2 3/7) называется смешанным.

Счётность множества[править]

Докажем, что множество всех пар натуральных чисел счётно. Назовём высотой пары \(\left(p, q \right)\) число \(p + q\). Имеется ровно \(n - 1\) пара с высотой \(n \left(n > 1 \right)\), а именно \(\left(1, n - 1 \right), \left(2, n - 2 \right), ..., \left(n - 1, 1 \right)\). Обозначим \(P_n\) конечное множество пар высотой \(n\). Очевидно, множество \(P=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} P_n\), как объединение счётного числа конечных множеств, счётно.

Каждому положительному дробному числу взаимнооднозначно соответствует несократимая дробь \(\frac{p}{q}\) и, следовательно, пара натуральных чисел \(\left(p, q \right)\). Множество пар, соответствующих несократимым дробям есть подмножество множества \(P\), а значит, как подмножество счётного множества является или конечным, или счётным. Подмножество рациональных чисел \(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ... \frac{1}{n}, ...\), очевидно, счётно, из чего следует, что и множество рациональных чисел счётно.

Литература[править]

  • И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
  • П.С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977
  • И.Л.Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

См. также[править]

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические