Целое число

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Множество целых чисел \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) определяется как замыкание множества натуральных чисел \(\mathbb{N}\) относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n (n\(\in\mathbb{N}\)) и числа нуль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввёли в математический обиход Михаэль Штифель (M. Stiffel, 14871567), в книге «Полная арифметика» 1544 года, и Никола Шюке (N. Chuquet, 14451500) — его работа была обнаружена в 1848 году.

Алгебраические свойства[править]

\(\mathbb{Z}\) не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.

сложение умножение
замкнутость: a + b   — целое a × b   — целое
ассоциативность: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
коммутативность: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
существование нейтрального элемента: a + 0  =  a a × 1  =  a
существование противоположного элемента: a + (−a)  =  0
дистрибутивность умножения относительно сложения: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

На языке абстрактной алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что \(\mathbb{Z}\) является абелевой группой относительно бинарной операции сложение, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент \(\mathbb{Z}\) может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, \(\mathbb{Z}\) является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе \((\mathbb{Z},+)\).

Первые четыре свойства умножения говорят о том, что \(\mathbb{Z}\) — коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, не такого x из \(\mathbb{Z}\), что 2x = 1, так как левая часть уравнения четна, а правая нечетна. Из этого следует, что \(\mathbb{Z}\) не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, — множество рациональных цисел (\(\mathbb{Q}\)).

Совокупность всех свойств таблицы означает, что \(\mathbb{Z}\) является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, \(b \not= 0\), существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и \(0 \le r < |b|\), где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, bделитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства[править]

\(\mathbb{Z}\) — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задается соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

  1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
  2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике[править]

Тип целое цисло — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса \(\mathbb{Z}\) в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдется целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

Ссылки[править]

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические