Комплексное число
Компле́ксные чи́сла[1] — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению . Общепринятым произношением является компле́ксное число́, хотя произношение ко́мплексное число́ также встречается.
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры.
Определения[править | править код]
Стандартное[править | править код]
Формально, комплексное число — это упорядоченная пара вещественных чисел с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:
Мнимая единица в такой системе представляется парой . Поэтому ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение вида некорректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.
Матричное[править | править код]
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать , мнимой единице —
все эти определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена x²+1
Действия над комплексными числами[править | править код]
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
Связанные определения[править | править код]
Комплексная переменная обычно обозначается . Пусть и суть вещественные числа, такие, что . Тогда
- Числа или и или называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями .
- Если , то называется мнимым или чисто мнимым.
- Комплексное число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к .
- Число называется модулем числа
- Угол такой, что и , называется аргументом .
Представление комплексных чисел[править | править код]
Алгебраическая форма[править | править код]
Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества .
Тригонометрическая и показательная формы[править | править код]
Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то комплексное число можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера где - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Геометрическое представление[править | править код]
Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами и (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.
- В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.
Формула Муавра[править | править код]
Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
где — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.
Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа.
Георгий Александров нашел самый общий вид формулы Муавра:
где x,y,n - любые действительные числа.
Сопряжённые числа[править | править код]
Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (часто обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком. Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: Однако, при делении двух сопряженных комплексных чисел получим число комплексное: В 2016 году российский математик Георгий Александров выявил, что выражение также является действительным числом при любой действительной степени n. Тождество Александрова:
История[править | править код]
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.
Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.
Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием»[Источник?].
Задача о выражении корней степени из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).
Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.
Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя ([[::en:Caspar Wessel|англ.]]), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.
Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.
Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.
Функции комплексного переменного[править | править код]
- Гамма-функция
- Гиперболические функции
- Дзета-функция Римана
- Логарифм
- Степенная функция
- W-функция Ламберта
Обобщения[править | править код]
- Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
Сноски[править | править код]
- ↑ Иногда ударение ставят на первый слог (в Московской школе)
- Понтрягин Л., «Комплексные числа», Квант, № 3, 1982.
- Арнольд В. И., «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», МЦНМО, 2002
- Простой калькулятор комплексных чисел
- CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.
- Елисеев В.И., «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308
натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли
иррациональные | трансцендентные |