Комплексное число

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Компле́ксные чи́сла[1] — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается \(\mathbb{C}\). Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма \(x + iy\), где \(x\) и \(y\) — вещественные числа, \(i\) — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению \(i^2=-1\). Общепринятым произношением является компле́ксное число́, хотя произношение ко́мплексное число́ также встречается.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени \(n\) с комплексными коэффициентами имеет ровно \(n\) комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры.

Определения[править]

Стандартное[править]

Формально, комплексное число \(z\) — это упорядоченная пара вещественных чисел \((x, y)\) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

  • \( (x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,\)
  • \( (x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,\)

Мнимая единица в такой системе представляется парой \(i=(0,1) \,\). Поэтому ошибочно определение числа \(i\) как единственного числа, удовлетворяющего уравнению \( i^2=-1 \), так как число \( (-i) \) также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение вида \( i=\sqrt{-1}\) некорректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Матричное[править]

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида $$ \begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix} $$ с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} $$ , мнимой единице — $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix} $$

все эти определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел \(\mathbb{R}\), как и любые другие конструкции поля разложения многочлена +1

Действия над комплексными числами[править]

  • Сложение
    \((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
  • Вычитание
    \((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
  • Умножение
    \((a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i\)
  • Деление
    \(\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,\)

Связанные определения[править]

Комплексная переменная обычно обозначается \(z\). Пусть \(x\) и \(y\) суть вещественные числа, такие, что \(z=x+iy\). Тогда

  • Числа \(x = \Re(z)\) или \(\operatorname{Re}(z)\) и \(y = \Im(z)\) или \(\operatorname{Im}(z)\) называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями \(z\).
    • Если \(x=0\), то \(z\) называется мнимым или чисто мнимым.
  • Комплексное число \(\bar z=x-iy\) называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к \(z\).
  • Число \(|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}\) называется модулем числа \(z\)
  • Угол \(\varphi\) такой, что \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \varphi = x \cdot |z|^{-1}\) и \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \varphi = y \cdot |z|^{-1}\), называется аргументом \(z\).

Представление комплексных чисел[править]

Алгебраическая форма[править]

Запись комплексного числа \(z\) в виде \(x + iy\), \(x,y \in \mathbb{R}\), называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества \(i^2 = -1\).

Тригонометрическая и показательная формы[править]

Если вещественную \(x\) и мнимую \(y\) части комплексного числа выразить через модуль \(r=|z|\) и аргумент \(\varphi\) (\(x=r\cos\varphi\), \(y=r\sin\varphi\)), то комплексное число \(z\) можно записать в тригонометрической форме $$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi).$$ Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера $$z=re^{i\varphi},$$ где \(e^{i\varphi}\) - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление[править]

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами \(x\) и \(y\) (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра[править]

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: $$z^n=[r({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi),$$

где \(r\) — модуль, а \(\varphi\) — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.

Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа. $$z^{1/n}=[r({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} = $$
\( = r^{1/n}\left({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\)
\( \quad k=0,1..n-1\)

Георгий Александров нашел самый общий вид формулы Муавра: $$(x+y\,i)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}\bigg [\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]$$

где x,y,n - любые действительные числа.

Сопряжённые числа[править]

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число \(z=x+iy\), то число \(\bar z=x-iy\) называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к \(z\) (часто обозначается также \(z^*\)). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком. Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: $$ (x+iy)+(x-iy)=2x $$ $$ (x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 $$ Однако, при делении двух сопряженных комплексных чисел получим число комплексное: $$\frac{x+iy}{x-iy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i \, \frac{2xy}{x^2+y^2}$$ В 2016 году российский математик Георгий Александров выявил, что выражение $$ (x+iy)^n+(x-iy)^n $$ также является действительным числом при любой действительной степени n. Тождество Александрова: $$ (x+iy)^n+(x-iy)^n=2\sqrt{(x^2+y^2)^n}{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left [\frac{n\pi}{2}\left (1-\frac{|x|}{x} \right )+n \cdot \operatorname{arctg}\left (\frac{|y|}{x} \right ) \right ] $$

История[править]

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида \(a+b\sqrt{-1}\), появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием»[Источник?].

Задача о выражении корней степени \(n\) из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ \(i=\sqrt{-1}\) предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного[править]


Обобщения[править]

Сноски[править]

  1. Иногда ударение ставят на первый слог (в Московской школе)

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические