Экспонента

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
\(\exp(x)=e^x\), где e ~ 2.7

Экспонента — функция \(\exp(x)=e^x\), где e — основание натуральных логарифмов.

Определение[править]

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:

\(e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\)

или через предел:

\(e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^n\)

Здесь x — любое вещественное или комплексное.

Свойства[править]

  • \((e^x)'=e^x\), в частности
  • Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения \(y'=y\) с начальными данными \(y(0)=1\). Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента является выпуклой функцией.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм \(\ln~a\).
  • Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
  • Основное функциональное свойство экспоненты:
    \(\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)\).
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид \(\exp(ct)\), где c — некоторая константа.

Экспонента от комплексного аргумента[править]

От комплексного аргумента \(z=x+iy\) экспонента определяется следующим образом: $$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} y + i\sin y)$$(формула Эйлера)

В частности, $$e^{i\pi}=-1$$

Вариации и обобщения[править]

Аналогично экспонента может быть определена для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента[править]

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд: $$\exp A=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$$

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора \(A\)с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы \(A\): \(\exp \|A\|\). Следовательно, экспонента от матрицы \(A \in \Bbb{R}^{n\times n}\) всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение \(\dot x=Ax\), \(x\in \mathbb R^n\) с начальным условием \(x(0)=x_0\) имеет своим решением \(x(t)=\exp (At) x_0\).

См. также[править]