E (математическая константа)
| Список чисел | |
|---|---|
| Иррациональные числа ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ | |
e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».
Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.
\(e \approx\) 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]
Содержание
Способы определения[править]
Число e может быть определено несколькими способами.
- Через предел:
- \(e = \lim \limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) (второй замечательный предел).
- Как сумма ряда:
- \(e = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\) или \({\frac{1}{e}} = \sum \limits_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}\).
- Как реккурентная формула:
- \( e = a(\infty) \) , если \( \,\, a(0)=1 \,; \,\, a(n)=a(n-1)+ \frac{1}{n!} \,\,\)
- Как произведение:
- \(e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { (2n-1)(n+1)}{(2n+1)n}}\right)}^{2\,n} \right ] \)
- Как степенное выражение:
- \(e = 2^{ \left( \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}}{n+1 }} \right) ^{-1}} \,\,\, ; \,\,\, e={c}^{ \left( \int \limits _{ 0}^{\infty }\!{\frac {c- 1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+cx \right) }}{dx} \right) ^{-1}} \,\,\, \) , где \( c>1 \, \)
- Как интегральное отношение :
- \(e = \frac { \int \limits _{-\infty }^{\infty } \frac {\sin \left( x \right) }{x}dx}{\int \limits _{-\infty }^{\infty }\frac {\sin \left( x \right) }{x+\frac {1}{x} }dx} \)
- Как единственное число \( \, a \, \), для которого выполняется
- \(\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1.\)
- Как единственное положительное число \( \, a \, \), для которого верно
- \(\frac d {dt} a^t = a^t.\)
Свойства[править]
- \( \frac{de^x }{dx} = e^x.\)
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения \(\frac{df(x)}{dx} = f(x)\) является функция \(\!f(x) = c e^x\), где c — произвольная константа. - Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
- \(\!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\), см. формула Эйлера, в частности
\(e^{i\pi} + 1 = 0. \,\!\) - Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»:
\(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}\) - Соотношение между \( \pi \, \) и \( e \, \) выражается через бесконечное произведение:
\(\frac {\pi}{2e} = \prod \limits _{n=1}^{\infty }\left [ \left( \frac {2n+1}{2n-1} \right )^{2n-1} \left ( \frac {n}{n+1} \right )^{2n} \right ] \) - То же через интегральное соотношение:
\(\frac {\pi}{2e} = \int \limits _{0}^{\infty }\ \frac {x \cdot \sin ( x ) }{x^2+1}{dx} \) - Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
\(e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n \) - Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
\(e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,\), то есть
\(e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}} \) - \(e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.\)
- Представление Каталана:
\(e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots\)
История[править]
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен \(10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!\).
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела: $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler)[?].
Мнемоника[править]
- Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (то есть 2,718281828459 )
- Запомнить как 2, 71, и повторяющиеся 82, 81, 82
- Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
- Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
- Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
- С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): \({666 \over 245} \approx 2,718\).
- Запоминание e как \(\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}\).
- Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным \(\pi \cdot \cos {\pi \over 6}\). Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением \(5 \cdot \pi - 13\).
- «Правило Боинга»: \(e \approx 4 \cdot \sin 0,747\) даёт неплохую точность 0,0005.
- Формулы Г. Александрова: \( e \, \approx \, 3 \, - \, \sqrt {\frac {5}{63}}\) - дает верные семь первых цифр, а \(\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}\) вычисляет константу с точностью \( 4,6 \, \cdot \, 10^{-10}\).
- Стишки:
- Два и семь, восемнадцать,
- Двадцать восемь, восемнадцать,
- Двадцать восемь, сорок пять,
- Девяносто, сорок пять.
Доказательство иррациональности[править]
Пускай \(\!e\) рационально. Тогда \(\!e=p/q\), где \(\!p\) и \(\!q\) целые положительные, откуда $$\!p=eq$$ Умножая обе части уравнения на \(\!(q-1)!\), получаем $$p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$$ Переносим \(\sum_{n=0}^q{q!\over n!}\) в левую часть: $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}$$ Все слагаемые правой части целые, следовательно: $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$$- целое $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \ge 1$$ Но с другой стороны $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} = {1\over q} \le 1$$ Получаем противоречие.
Интересные факты[править]
- В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
- В языках программирования символу \(e\) в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2]:
|
- Таким образом, записи типа
7.38e-43в языках программирования будет соответствовать число \(7{,}38\times 10^{-43}\), а не \(7{,}38\times e^{-43}\).
Примечания[править]
- ↑ 2 миллиона цифр после запятой
- ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java . — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — Библиотека программиста. — ISBN 978-5-388-00003-3>
См. также[править]
Ссылки[править]
- История числа e (англ.)
- e for 2.71828… (история и правило Джексона, англ.)
- Мировые константы в основных законах физики и физиологии
%20HTTP/1.1&status=200&body_bytes_sent=0&http_referer=&arg_title=E_(%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D1%2587%25D0%25B5%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25B0%25D1%258F_%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25BD%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B0%25D0%25BD%25D1%2582%25D0%25B0)&wiki_action=view&upstream_cache_status=EXPIRED"){kind=small}