E (математическая константа)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску
Список чисел
Иррациональные числа
ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Область под графиком y = 1/x равна 1 интервалу 1 ≤ x ≤ e.
e - это некоторое число a, такое, что значение производной (наклон линии тангенса) показательной функции f (x) = ax (синяя кривая) в точке x = 0 равно 1. Для сравнения показаны функция 2x (точечная кривая) и 4x (пунктирная кривая); тангенс к линии наклона не равен 1 (красная).

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».


Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

e ≈ e \approx 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]

Способы определения[править | править код]

Число e может быть определено несколькими способами.

  • Через предел:
    e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n e = \lim \limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n (второй замечательный предел).
  • Как сумма ряда:
    e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! e = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} или 1 e = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n ! {\frac{1}{e}} = \sum \limits_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}} .
  • Как реккурентная формула:
    e = a ( ∞ ) e = a(\infty) , если a ( 0 ) = 1 ; a ( n ) = a ( n − 1 ) + 1 n ! \,\, a(0)=1 \,; \,\, a(n)=a(n-1)+ \frac{1}{n!} \,\,
  • Как произведение:
    e = ∏ n = 1 ∞ [ ( 2 n 2 n − 1 ) 2 ( ( 2 n − 1 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) n ) 2 n ] e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { (2n-1)(n+1)}{(2n+1)n}}\right)}^{2\,n} \right ]
  • Как степенное выражение:
    e = 2 ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 ) − 1 ; e = c ( ∫ 0 ∞ c − 1 ( 1 + x ) ( 1 + c x ) d x ) − 1 e = 2^{ \left( \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}}{n+1 }} \right) ^{-1}} \,\,\, ; \,\,\, e={c}^{ \left( \int \limits _{ 0}^{\infty }\!{\frac {c- 1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+cx \right) }}{dx} \right) ^{-1}} \,\,\, , где c > 1 c>1 \,
  • Как интегральное отношение :
    e = ∫ − ∞ ∞ sin  Синус  ( x ) x d x ∫ − ∞ ∞ sin  Синус  ( x ) x + 1 x d x e = \frac { \int \limits _{-\infty }^{\infty } \frac {\sin \left( x \right) }{x}dx}{\int \limits _{-\infty }^{\infty }\frac {\sin \left( x \right) }{x+\frac {1}{x} }dx}
  • Как единственное число a \, a \, , для которого выполняется
    ∫ 1 a d t t = 1. \int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1.
  • Как единственное положительное число a \, a \, , для которого верно
    d d t a t = a t . \frac d {dt} a^t = a^t.

Свойства[править | править код]

  • d e x d x = e x . \frac{de^x }{dx} = e^x.
    Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения d f ( x ) d x = f ( x ) \frac{df(x)}{dx} = f(x) является функция f ( x ) = c e x \!f(x) = c e^x , где c — произвольная константа.
  • Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
  • e i x = cos  Косинус  ( x ) + i sin  Синус  ( x ) \!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) , см. формула Эйлера, в частности
    e i π + 1 = 0. e^{i\pi} + 1 = 0. \,\!
  • Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»:
    ∫ − ∞ ∞   e − x 2 d x = π \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
  • Соотношение между π \pi \, и e e \, выражается через бесконечное произведение:
    π 2 e = ∏ n = 1 ∞ [ ( 2 n + 1 2 n − 1 ) 2 n − 1 ( n n + 1 ) 2 n ] \frac {\pi}{2e} = \prod \limits _{n=1}^{\infty }\left [ \left( \frac {2n+1}{2n-1} \right )^{2n-1} \left ( \frac {n}{n+1} \right )^{2n} \right ]
  • То же через интегральное соотношение:
    π 2 e = ∫ 0 ∞   x ⋅ sin  Синус  ( x ) x 2 + 1 d x \frac {\pi}{2e} = \int \limits _{0}^{\infty }\ \frac {x \cdot \sin ( x ) }{x^2+1}{dx}
  • Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
    e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ ( 1 + z n ) n e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n
  • Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
    e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \, , то есть
    e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + … e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}
  • e = lim n → ∞ n n ! n . e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.
  • Представление Каталана:
    e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋯ e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots

История[править | править код]

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ ( x 10 7 ) 10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\! .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела: lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler)[?].

Мнемоника[править | править код]

  • Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (то есть 2,718281828459 )
  • Запомнить как 2, 71, и повторяющиеся 82, 81, 82
  • Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
  • Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
  • Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
  • С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): 666 245 ≈ 2 , 718 {666 \over 245} \approx 2,718 .
  • Запоминание e как 666 10 ⋅ 666 − 13 \frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13} .
  • Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным π ⋅ cos  Косинус  π 6 \pi \cdot \cos {\pi \over 6} . Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением 5 ⋅ π − 13 5 \cdot \pi - 13 .
  • «Правило Боинга»: e ≈ 4 ⋅ sin  Синус  0 , 747 e \approx 4 \cdot \sin 0,747 даёт неплохую точность 0,0005.
  • Формулы Г. Александрова: e ≈ 3 − 5 63 e \, \approx \, 3 \, - \, \sqrt {\frac {5}{63}} - дает верные семь первых цифр, а e ≈ 3 − 93 94 3 37 \,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}} вычисляет константу с точностью 4 , 6 ⋅ 10 − 10 4,6 \, \cdot \, 10^{-10} .
  • Стишки:
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.

Доказательство иррациональности[править | править код]

Пускай e \!e рационально. Тогда e = p / q \!e=p/q , где p \!p и q \!q целые положительные, откуда p = e q \!p=eq Умножая обе части уравнения на ( q − 1 ) ! \!(q-1)! , получаем p ( q − 1 ) ! = e q ! = q ! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n ! = ∑ n = 0 q q ! n ! + ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} Переносим ∑ n = 0 q q ! n ! \sum_{n=0}^q{q!\over n!} в левую часть: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = p ( q − 1 ) ! − ∑ n = 0 q q ! n ! \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!} Все слагаемые правой части целые, следовательно: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} - целое ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! ⩾ 1 \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \ge 1 Но с другой стороны ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = ∑ m = 1 ∞ q ! ( q + m ) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 ( q + 1 ) . . . ( q + m ) < ∑ m = 1 ∞ 1 ( q + 1 ) m = 1 q ⩽ 1 \sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} = {1\over q} \le 1 Получаем противоречие.

Интересные факты[править | править код]

  • В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
  • В языках программирования символу e e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2]:

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e e , которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число 7 , 38 × 10 − 43 7{,}38\times 10^{-43} , а не 7 , 38 × e − 43 7{,}38\times e^{-43} .

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 2 миллиона цифр после запятой
  2. ↑ Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java ‭. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — Библиотека программиста. — ISBN 978-5-388-00003-3о книге

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Числа с собственными именами
Вещественные Золотое сечение •e (число Эйлера) •Экспонента •Пи •Число Скьюза
Натуральные Чёртова дюжина •Число зверя •Число Рамануджана — Харди
Степени десяти Мириада •Гугол •Асанкхейя •Гуголплекс
Степени тысячи Тысяча •Миллион •Миллиард •Биллион •Триллион … •… Центиллион •Зиллион
Степени двенадцати Дюжина •Гросс •Масса
Литературные меры счёта Доцанд •Мириад
Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=E_(математическая_константа)&oldid=839484