Натуральное число

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Натура́льные чи́слачисла, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \(\mathbb{N}\).

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Определение[править]

Аксиомы Пеано[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Аксиомы Пеано

Введём функцию \(S\), которая сопоставляет числу \(x\) следующее за ним число.

  1. \(1\in\mathbb{N}\) (\(1\) является натуральным числом);
  2. Если \(x\in\mathbb{N}\), то \(S(x)\in\mathbb{N}\) (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. \(\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)\) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если \(S(b)=a\) и \(S(c)=a\), тогда \(b=c\) (если натуральное число \(a\) непосредственно следует как за числом \(b\), так и за числом \(c\), то \(b=c\));
  5. Аксиома индукции. Пусть \(P(n)\) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа \(n\). Тогда:
если \(P(1)\) и \(\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))\), то \(\forall n\;P(n)\)
(Если некоторое высказывание \(P\) верно для \(n=1\) (база индукции) и для любого \(n\) при допущении, что верно \(P(n)\), верно и \(P(n+1)\) (индукционное предположение), то \(P(n)\) верно для любых натуральных \(n\)).

Теоретико-множественное определение[править]

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • \(0=\varnothing\)
  • \(S(n)=n\cup\left\{n\right\}\)

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • \(0=\varnothing\)
  • \(1=\left\{\varnothing\right\}\)
  • \(2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\)
  • \(3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}\)

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Замечание[править]

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют \(1\) на \(0\). В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел \(0\notin\mathbb{N}\), а множество натуральных чисел с нулем обозначается как \(\mathbb{N}_0\).

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как \(\mathbb{N}\), а без нуля как \(\mathbb{N}^*\).

Операции над натуральными числами[править]

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма
  • Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
  • Возведение в степень \(a^b\), где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое \(-\) Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное \(p\) и остаток \(r\) от деления \(a\) на \(b\) определяются так: \(a=p*b+r\), причём \(0\leqslant r\). Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе \(a\) можно представить в виде \(a=p*0+a\), то есть можно было бы считать частным \(0\), а остатком = \(a\).

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения[править]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

  • \([A] + [B] = [A \sqcup B]\)
  • \([A] * [B] = [A \times B]\)
  • \({[A]}^{[B]} = [ A^B ]\)

где \(A \sqcup B\) — дизъюнктное объединение множеств, \(A \times B\) — прямое произведение, \(A ^ B\) — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства[править]

  1. Коммутативность сложения. \(\,\! a + b = b + a\)
  2. Коммутативность умножения. \(\,\! ab = ba\)
  3. Ассоциативность сложения. \(\,\! (a + b) + c = a + (b + c)\)
  4. Ассоциативность умножения. \(\,\! (ab)c = a(bc)\)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. \(\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}\)

Алгебраическая структура[править]

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел \(\mathbb Z\) и рациональных положительных чисел \(\mathbb Q^*_+\) соответсвенно.

Натуральные числа в русском языке[править]

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).
  • Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).
  • Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).
  • Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).

См. также[править]

Ссылки[править]

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические

yi:נאטורלעכע צאל