E (математическая константа)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
(перенаправлено с «E (число)»)
Перейти к: навигация, поиск
Список чисел
Иррациональные числа
ζ(3)√2√3√5φαeπδ
Область под графиком y = 1/x равна 1 интервалу 1 ≤ xe.
e - это некоторое число a, такое, что значение производной (наклон линии тангенса) показательной функции f (x) = ax (синяя кривая) в точке x = 0 равно 1. Для сравнения показаны функция 2x (точечная кривая) и 4x (пунктирная кривая); тангенс к линии наклона не равен 1 (красная).

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».


Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

\(e \approx\) 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]

Способы определения[править]

Число e может быть определено несколькими способами.

  • Через предел:
    \(e = \lim \limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) (второй замечательный предел).
  • Как сумма ряда:
    \(e = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\) или \({\frac{1}{e}} = \sum \limits_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}\).
  • Как реккурентная формула:
    \( e = a(\infty) \) , если \( \,\, a(0)=1 \,; \,\, a(n)=a(n-1)+ \frac{1}{n!} \,\,\)
  • Как произведение:
    \(e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { (2n-1)(n+1)}{(2n+1)n}}\right)}^{2\,n} \right ] \)
  • Как степенное выражение:
    \(e = 2^{ \left( \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}}{n+1 }} \right) ^{-1}} \,\,\, ; \,\,\, e={c}^{ \left( \int \limits _{ 0}^{\infty }\!{\frac {c- 1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+cx \right) }}{dx} \right) ^{-1}} \,\,\, \) , где \( c>1 \, \)
  • Как интегральное отношение :
    \(e = \frac { \int \limits _{-\infty }^{\infty } \frac {{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \left( x \right) }{x}dx}{\int \limits _{-\infty }^{\infty }\frac {\sin \left( x \right) }{x+\frac {1}{x} }dx} \)
  • Как единственное число \( \, a \, \), для которого выполняется
    \(\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1.\)
  • Как единственное положительное число \( \, a \, \), для которого верно
    \(\frac d {dt} a^t = a^t.\)

Свойства[править]

  • \( \frac{de^x }{dx} = e^x.\)
    Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения \(\frac{df(x)}{dx} = f(x)\) является функция \(\!f(x) = c e^x\), где c — произвольная константа.
  • Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
  • \(\!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)\), см. формула Эйлера, в частности
    \(e^{i\pi} + 1 = 0. \,\!\)
  • Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»:
    \(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}\)
  • Соотношение между \( \pi \, \) и \( e \, \) выражается через бесконечное произведение:
    \(\frac {\pi}{2e} = \prod \limits _{n=1}^{\infty }\left [ \left( \frac {2n+1}{2n-1} \right )^{2n-1} \left ( \frac {n}{n+1} \right )^{2n} \right ] \)
  • То же через интегральное соотношение:
    \(\frac {\pi}{2e} = \int \limits _{0}^{\infty }\ \frac {x \cdot{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} ( x ) }{x^2+1}{dx} \)
  • Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
    \(e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n \)
  • Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
    \(e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,\), то есть
    \(e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}} \)
  • \(e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.\)
  • Представление Каталана:
    \(e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots\)
  • Представление Г. Александрова:
    \(e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { 2n^2+n-1}{2n^2+n }}\right)}^{2\,n} \right ] \)

История[править]

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен \(10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!\).

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела: $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 16901691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler)[?].

Мнемоника[править]

  • Приблизительное значение зашифровано в: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли» (то есть 2,718281828459 )
  • Запомнить как 2, 71, и повторяющиеся 82, 81, 82
  • Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
  • Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
  • Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.
  • С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): \({666 \over 245} \approx 2,718\).
  • Запоминание e как \(\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}\).
  • Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным \(\pi \cdot{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} {\pi \over 6}\). Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением \(5 \cdot \pi - 13\).
  • «Правило Боинга»: \(e \approx 4 \cdot{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} 0,747\) даёт неплохую точность 0,0005.
  • Формулы Г. Александрова: \( e \, \approx \, 3 \, - \, \sqrt {\frac {5}{63}}\) - дает верные семь первых цифр, а \(\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}\) вычисляет константу с точностью \( 4,6 \, \cdot \, 10^{-10}\).
  • Стишки:
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.

Доказательство иррациональности[править]

Пускай \(\!e\) рационально. Тогда \(\!e=p/q\), где \(\!p\) и \(\!q\) целые положительные, откуда $$\!p=eq$$ Умножая обе части уравнения на \(\!(q-1)!\), получаем $$p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$$ Переносим \(\sum_{n=0}^q{q!\over n!}\) в левую часть: $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}$$ Все слагаемые правой части целые, следовательно: $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$$- целое $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \ge 1$$ Но с другой стороны $$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} = {1\over q} \le 1$$ Получаем противоречие.

Интересные факты[править]

  • В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
  • В языках программирования символу \(e\) в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN[2]:

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма \(e\), которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой \(e\) в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число \(7{,}38\times 10^{-43}\), а не \(7{,}38\times e^{-43}\).

Примечания[править]

  1. 2 миллиона цифр после запятой
  2. Эккель Б. Философия Java = Thinking in Java ‭. — 4-е изд. — СПб.: Питер, 2009. — С. 84. — ISBN 978-5-388-00003-3>

См. также[править]

Ссылки[править]