Матрица (математика)

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) из других математических обьектоd и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.

Правила выполнения операций над матрицами сделаны такими, чтобы было удобно записывать системы линейных уравнений.

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]», двойными прямыми линиями «||…||»).

Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной.

У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса ($a_{ij}$) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размерности $m \times n$», подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов.

История

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений

Систему из $m$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

можно представить в матричном виде $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ;\quad X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ;\quad B = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}$$

и тогда всю систему можно записать так: $$AX = B,$$

где $A$ имеет смысл таблицы коэффициентов $a_{ij}$ системы уравнений.

Если $m = n$ и матрица $A$ невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы $A^{-1}$, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева $$A^{-1}AX = A^{-1}B$$

$A^{-1}A$ — превращается в $E$ (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений $$X = A^{-1}B.$$

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами выводятся из операций над системами уравнений.

Операции над матрицами

Пусть $a_{ij}$ — элементы матрицы $A$, а $b_{ij}$ — элементы матрицы $B$.

Линейные операции:

Умножение матрицы $A$ на число $\lambda$ (обозначение: $\lambda A$) заключается в построении матрицы $B$, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы $A$ на это число, то есть каждый элемент матрицы $B$ равен $$b_{ij} = \lambda a_{ij}$$

Сложение матриц $A + B$ есть операция нахождения матрицы $C$, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц $A$ и $B$, то есть каждый элемент матрицы $C$ равен $$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$ $$A+B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 8 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3 & 0+1 & -1+0\\ 1+8 & 3+2 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -1\\ 9 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

Вычитание матриц $A - B$ определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы $C$, элементы которой $$c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$$ $$A-B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 8 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-3 & 0-1 & -1-0\\ 1-8 & 3-2 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\ -7 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица $\Theta$ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть $$A + \Theta = A$$ Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: $A B$, реже со знаком умножения $A\times B$) — есть операция вычисления матрицы $C$, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго. $$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$$ В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица $A$ имеет размерность $m \times n$, $B$ — $n \times k$, то размерность их произведения $A B = C$ есть $m \times k$. Умножение матриц не коммутативно. $$F L= \begin{pmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} g & i & k \\ h & j & l \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a \cdot g + d \cdot h) & (a \cdot i + d \cdot j) & (a \cdot k + d \cdot l)\\ (b \cdot g + e \cdot h) & (b \cdot i + e \cdot j) & (b \cdot k + e \cdot l)\\ (c \cdot g + f \cdot h) & (c \cdot i + f \cdot j) & (c \cdot k + f \cdot l)\\ \end{pmatrix}$$ $$A B= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 5 & 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3\\ 5 \cdot (-1) + 7 \cdot (-2) & 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 13\\ -19 & 31 \end{pmatrix}$$ $$B A= \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 & -1 \cdot 3 + 2 \cdot 7\\ -2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 & -2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 11\\ 11 & 15 \end{pmatrix}$$

Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: $A^T$) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть $$a^T_{ij} = a_{ji}$$

Если $A$ — матрица размера $m \times n$, то $A^T$ — матрица размера $n \times m$

Квадратная матрица и смежные определения

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица $E$ (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно $$EA = AE = A$$

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю $$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица $A^{-1}$ такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица: $$A A^{- 1} = E$$

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности $(p;\;0)$ на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Свойства матриц

1. $A + (B + C) = (A + B) + C$
2. $A + B = B + A$
3. $A(BC) = (AB)C$
4. $A(B + C) = AB + AC$
5. $(B + C)A = BA + CA$
6. $0 \cdot A = \Theta$
7. $1 \cdot A = A$
8. $A_{k \times l} \cdot B_{l \times n} = C \Rightarrow c_{ij} = \sum_{k = 1}^l a_{ik} b_{kj}$
9. $(A^T)^T=A$
10. $(A*B)^T=B^T*A^T$

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля
2. Прибавление одной строки к другой строке

Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Типы матриц

• Антиперестановочная: $AB=-BA$
• Единичная
• Блочно-диагональная
• Ганкелева
• Верхнетреугольная
• Вырожденная
• Диагональная
  • Трёхдиагональная
• Заполненная — в вычислительной математике матрица, которая практически не содержит нулей. Такую матрицу приходится хранить в памяти целиком. Антоним: разреженная.
• Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Для квадратных матриц существует определитель.
• Кососимметрическая
• Нижнетреугольная
• Нормальная
• Нулевая
• Ортогональная
• Перестановочная: $AB=BA$
• Разреженная — в вычислительной математике матрица, содержащая много нулей. Организовав подходящую структуру данных, вычисления с разреженными матрицами можно проводить очень быстро. Частные случаи: диагональная, трёхдиагональная, жорданова. Антоним: заполненная.
• Симметричная
  1. Симметричная матрица $A$ положительно определена ($A > 0$), если значения у всех ее главных угловых миноров $A_k > 0$
  2. Симметричная матрица $A$ отрицательно определена ($A < 0$), если матрица $(-A)$ положительно определена, то есть если для любого $k$ главный минор $k$-го порядка $A_k$ имеет знак $(-1)^k$
• Теплицева
• Треугольная
• Эрмитова
• Циркулянт
• Унитарная
• Унимодулярная

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис $\mathbf{e}_k$. Пусть $\mathbf{x}$ — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису: $$\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k,$$

где $x^k$ — координаты вектора $\mathbf{x}$ в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть $\mathbf{A}$ — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим $$\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k.$$

Вектора $\mathbf{Ae}_k$ также разложим в выбранном базисе, получим $$\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j,$$

где $a^j_k$ — $j$-я координата $k$-го вектора из $\mathbf{Ae}_k$.

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим $$\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j.$$

Выражение $a^j_kx^k$, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица $a^j_k$ при умножении на столбец $x^k$ даёт в результате координаты вектора $\mathbf{Ax}$, возникшего от действия оператора $\mathbf{A}$ на вектор $\mathbf{x}$, что и требовалось получить.

См. также

• Норма матрицы
• Определитель матрицы
• Массив — тип данных в программировании, соответствующий многомерной матрице.
• Разрежённый массив — компьютерная форма представления матриц со множеством нулей.
• Линейные матричные неравенства — аппарат для решения задач синтеза законов управления.

Литература

• Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999 (djvu).
• Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966 (djvu).
• Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973 (djvu).
• Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu).

Ссылки

• Операции над матрицами онлайн