Математический анализ

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят

• дифференциальное и интегральное исчисление
• теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов
• векторный анализ.

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца 19 века и в частности использует наивную теорию множеств.

Курс анализа соответствует англо-американскому курсу Calculus I-III (в сети подробно описан курс Cornell Un.)

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны след. учебники:

• Курант, Рихард. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна, затем в 1930-х перенесен на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т.н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) // Мат. анализ на EqWorld

и задачник

• Демидович, Борис Павлович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу // Мат. анализ на EqWorld

Имеется несколько изданий, претендующих на роль АнтиДемидовича:

• Ляшко И.И. и др. Справочное пособие по высшей математики. т. 1-5

Большинство ВУЗов имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ, мехмат:

• Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по мат. анализу.

• МГУ, ВМиК:

• Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ (в двух частях)

• МГУ, физфак:

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (в двух частях) // http://lib.homelinux.org.
• Бутузов В.Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах // http://lib.homelinux.org.
• Методические материалы

• НГУ, мехмат:

• Шведов И.А. Компактный курс математического анализа, 2003: Часть 1. Функции одной переменной, Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

• Физтех, Москва

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в трёх томах)

Учебники повышенной сложности

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1, Часть 2, 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Справочники

• Таблица производных
• Список интегралов

Исторический очерк

Официальной датой рождения дифференциального исчисления следует считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью Новый метод максимумов и минимумов ..., в сжатой и малодоступной форме излагавшую принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением. В 1688 Ньютон независимо от Лейбница разрабатывал способ «флюксий», который по существу представляет собой вариант дифференциального исчисления.

Лейбниц и его ученики

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечет изменение другой. У Лопиталя эта связь дается при помощи плоских кривых: если $M$ – подвижная точка плоской кривой, то ее декартовы координаты $x$ и $y$, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причем изменение $x$ влечет изменение $y$. Понятие функции отутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что "известна природа кривой". Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом... Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом $d$. ... Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется ... вторым дифференциалом.

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается $x+dx=x$, далее

$dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx$

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку $M = (x,y)$, Лопиталь придает большое значение величине

$y\frac{dx}{dy}-x$,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же $dy$ к $dx$ не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра $x$ ордината $y$ сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал $dy$ сначала положителен по сравнению с $dx$, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль... Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, $y=x^2$, тогда в силу первого требования

$2xdx+ dx^2=2xdx$;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что $dy$ можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума $dy=0$.. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что $dy$ равен нулю в точке максимума, будучи разделен на $dx$.

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты $y$ кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при $x=a$. Тогда точка кривой с $x=a$ имеет ординату $y$, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при $x=a$.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие пол века, отражены в обширном трактате Эйлера. Изложение анализа открывают изыскания о различных представлениях функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница, однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счета (нем. Rechnungsausdrϋck) или аналитическое выражение.

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчеркивая, что "основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных", Эйлер перечисляет действия, "посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением". Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа $\infty$. В выражениях это число используется на ряду с натуральными числами. Напр., считается допустимой такое выражение для экспоненты

$e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty$,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т.д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул. Вопросы приближенного вычисления функций рассмотрены отдельно в Дифференциальном исчислении. Замечательный пример того, как при помощи символа $\infty$ получать представления функций, дает разложение синуса на квадратичные множители.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение. В 19 веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа $\infty$.

Дальнейшее развитие

В XVIII веках были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции.

В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование неудобным, и предложил определение предела через ε-δ-язык;. Тогда математики стали сомневаться в существовании множества вещественных чисел. Дедекинд ввёл вещественные числа с помощью дедекиндовых сечений. В это время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью.

Библиография

Классические произведения

• Лопиталь. Анализ бесконечно малых // Мат. анализ на EqWorld
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
• Эйлер. Введение в анализ, Дифференицальное исчисление, Интегральное исчисление //Мат. анализ на EqWorld (Второй том Введения в анализ сохранен с ошибкой)
• Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению //Мат. анализ на EqWorld
• Штурм. Курс анализа. Т.1,2 -- Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
• Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2 // Мат. анализ на EqWorld

Исторические книги

• Кестнер, Авраам Готтгельф. Geschichte der Mathematik. 4 тома, Геттинген, 1796—1800
• Кантор, Мориц. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, 1894-1908. Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3,Bd. 4
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 XVIII столетия. (1972)

• Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960

См. также

• Исторический очерк в статье Функция