Евклидово пространство

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Каждая точка в трехмерном евклидовом пространстве определяется тремя координатами.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.[1]

В более общем смысле Евкли́дово простра́нство называется n-мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х1, х2,..., xn), а точка М* — координаты (y1*, y2*,..., yn*), то расстояние между этими точками: $$\rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2},$$

где \(x=(x_1,x_2,\dots, x_n)\) и \( y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n\).[2]

В современном понимании, в более общем смысле, оно может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно \(n\)-мерное евклидово пространство обозначается \(\mathbb E^n\), хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение \( \mathbb R^n \).

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство \( \mathbb R^n \) с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму: $$\|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle},$$ в простейшем случае (евклидова норма): $$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$$ где \(x=(x_1,x_2,\dots, x_n)\) (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть \( \mathbb R^n \) с метрикой, введённой по формуле: $$\rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2},$$ где \(x=(x_1,x_2,\dots, x_n)\) и \( y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n\).

3. Вообще любое предгильбертово пространство (пространство со скалярным произведением \(\langle x, x \rangle\)).

Связанные определения[править]

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения[править]

См. также[править]

Примечания[править]