Евклидова геометрия

Евклидова геометрия — привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида, который написал «Начала», систематически описывающие геометрию евклидовой плоскости.

С точки зрения дифференциальной геометрии, евклидова геометрия представляет собой внутреннюю геометрию поверхности нулевой кривизны. Согласно теоретико-групповым принципам (см. Теоретико-групповые принципы геометрии), евклидова геометрия — это геометрия группы движений евклидова пространства.

Аксиоматизация

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. В «Началах» Евклида утверждения, принимаемые без доказательства, назывались постулатами и аксиомами. В чём заключался принцип разделения основных положений на два списка, то это осталось невыясненным.
Постулаты:

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.
3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
4. И чтобы все прямые углы были равны между собой.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
4. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных равны между собой.
7. И совмещающие равны.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.

Примечание: Принадлежность некоторых из аксиом именно Евклиду (4-я, 5-я, 6-я и 9-я) берётся под сомнение, возможно переписчики добавили их позже. В некоторых списках "Начал" четвёртый и пятый постулат относили к числу аксиом, потому пятый постулат иногда называют одиннадцатой аксиомой.

В 1899 году Д. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным. Кроме Гильбертовой, существуют и другие системы аксиом евклидовой геометрии (А. В.Погорелова, А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова и др.). Особо здесь можно отметить систему аксиом Вейля, основанную на понятии вектора

См. также

• Геометрия Лобачевского
• Геометрия Римана

Литература

Д. Гильберт. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.