Евклид

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Евклид
Ευκλείδης
Euklid-von-Alexandria 1.jpg
Дата рождения:  [[Год рождения::III век до н. э.]] [[Дата рождения:= III век до н. э.| ]]
Ошибка: В одном из подзапросов не указано правильного знака условия.
[[Категория:Родившиеся в III век до н. э. году]]
Научная сфера: древнегреческий математик

Евклид или Эвклид, (др.-греч. Ευκλείδης, ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик.

Биография[править]

Биографические данные о Евклиде крайне скудны.

К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей однажды спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии»[1]

Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».[2]

Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла – Евклид жил во времена Птолемея I Сотера – в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона.[3] Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар, а арабские авторы называли Тир родиной Евклида и считали, что он жил в Дамаске и издал там Начала Аполлония.[4]

Начала Евклида[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Начала Евклида
Ватиканский манускрипт, т.1, 38v - 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора).

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII–IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н.э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Другие произведения Евклида[править]

Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα) — о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О разделении (περὶ διαιρέσεων) — сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα) — приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά) — о прямолинейном распространении света.

По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα) — об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά);
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) — о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία) — об ошибках в геометрических доказательствах;
  • Начала музыки (κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις).

Евклиду приписываются также:

  • Катоптрика (κατοπτρικά) — теория зеркал; сохранилась обработка Теона Александрийского;
  • Деление канона (κατατομὴ κανόνος) — трактат по математическим основам музыкальной теории, большая часть которого создана Архитом Тарентским. /Пер. А. И. Щетникова опубликован в кн. «Пифагорейская гармония: исследования и тексты». Новосибирск: АНТ, 2005, с. 81-96.

Евклид и античная философия[править]

Йос ван Вассенхове (Юстус из Гента). Евклид, ок. 1474. Урбино

Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (т.наз. «математические» науки) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказаельства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должны где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

Литература[править]

Библиография
  • Max Steck. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der «Elemente» des Euklid (um 365—300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.
Современные издания сочинений Евклида
  • Euclidus Opera Ominia. Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 vols. Leipzig: Teubner, 1883—1916.
Античные комментарии
О Началах Евклида
  • Алимов Н. Г. Величина и отношение у Евклида. Историко-математические исследования, вып. 8, 1955, с. 573—619.
  • Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 296—328.
  • Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.
  • Выгодский М. Я. «Начала» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 217—295.
  • Каган В. Ф. Евклид, его продолжатели и комментаторы. В кн.: Каган В. Ф. Основания геометрии. Ч. 1. М., 1949, с. 28-110.
  • Раик А. Е. Десятая книга «Начал» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 343—384.
  • Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003.
  • Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
  • Щетников А. И. Вторая книга «Начал» Евклида: её математическое содержание и структура. Историко-математические исследования, вып. 12(47), 2007, с. 166—187.
  • Щетников А. И. Сочинения Платона и Аристотеля как свидетельства о становлении системы математических определений и аксиом. ΣΧΟΛΗ, вып. 1, 2007, c. 172—194.
  • Artmann B. Euclid’s «Elements» and its prehistory. Apeiron, v. 24, 1991, p. 1-47.
  • Brooker M.I.H., Connors J. R., Slee A. V. Euclid. CD-ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
  • Burton H.E. The optics of Euclid. J. Opt. Soc. Amer., v. 35, 1945, p. 357—372.
  • Itard J. Lex livres arithmetiqués d’Euclide. P.: Hermann, 1961.
  • Fowler D.H. An invitation to read Book X of Euclid’s Elements. Historia Mathematica, v. 19, 1992, p. 233—265.
  • Knorr W.R. The evolution of the Euclidean Elements. Dordrecht: Reidel, 1975.
  • Mueller I. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid’s Elements. Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
  • Schreiber P. Euklid. Leipzig: Teubner, 1987.
  • Seidenberg A. Did Euclid’s Elements, Book I, develop geometry axiomatically? Archive for History of Exact Sciences, v. 14, 1975, p. 263—295.
  • Taisbak C.M. Division and logos. A theory of equivalent couples and sets of integers, propounded by Euclid in the arithmetical books of the Elements. Odense UP, 1982.
  • Taisbak C.M. Colored quadrangles. A guide to the tenth book of Euclid’s Elements. Copenhagen, Museum Tusculanum Press, 1982.
  • Tannery P. La géometrié grecque. Paris: Gauthier-Villars, 1887.

О других сочинениях Евклида:

  • Зверкина Г. А. Обзор трактата Евклида «Данные». Математика и практика, математика и культура. М., 2000, с. 174—192.
  • Ильина Е. А. О «Данных» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 7(42), 2002, с. 201—208.
  • Berggren J.L., Thomas R.S.D. Euclid’s Phaenomena: a translation and study of a Hellenistic treatise in spherical astronomy. NY, Garland, 1996.
  • Schmidt R. Euclid’s Recipients, commonly called the Data. Golden Hind Press, 1988.

Примечания[править]

  1. Прокл. Комм. к первой книге Начал Евклида. Введение. II-8.
  2. Кэджори Ф. История элементарной математики. Одесса, 1917. С. 70-71
  3. См. напр., Розенфельд Б.А. Апполоний Пергский. М., 2004. C. 10
  4. Кэджори Ф. История элементарной математики. Одесса, 1917. С. 71; Рожанская М.М. и др. Насир ад-Дин ат-Туси. М., 1999. C. 51

См. также[править]

В Викицитатнике есть страница по теме
Евклид