Броуновское движение

Бро́уновское движе́ние — тепловое движение микроскопических взвешенных частиц (броуновские частицы) твёрдого вещества (пылинки, крупинки взвеси, частички пыльцы растения и так далее), находящейся в жидкой или газообразной среде. В математике, а точнее в теории случайных процессов, Броуновское движение (Винеровский процесс) - это гауссовский процесс с независимыми приращениями, у которого математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно $t\cdot\sigma$.

Сущность явления

Броуновское движение происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул — мельчайших частиц, которые находятся в постоянном хаотическом тепловом движении, и потому непрерывно толкают броуновскую частицу с разных сторон.

Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если крупное тело окружено средой со всех сторон, то давление практически уравновешивается, остаётся только подъёмная сила Архимеда — такое тело плавно всплывает или тонет.

Если же тело мелкое, как броуновская частица, то становятся заметны флуктуации давления, которые создают заметную случайно изменяющуюся силу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии.

Иногда под броуновским движением неправильно понимают само тепловое движение атомов и молекул.

Как наблюдать броуновское движение

Чтобы увидеть броуновское движение, требуется несильный световой микроскоп…

Открытие броуновского движения

Это явление открыто Броуном в 1827 г., когда он проводил исследования пыльцы растений. Он, в частности, интересовался, как пыльца участвует в процессе оплодотворения. Как-то он разглядывал под микроскопом выделенные из клеток пыльцы североамериканского растения Clarkia pulchella (кларкии хорошенькой) взвешенные в воде удлиненные цитоплазматические зерна. Неожиданно Броун увидел, что мельчайшие твердые крупинки, которые едва можно было разглядеть в капле воды, непрерывно дрожат и передвигаются с места на место. Он установил, что эти движения, по его словам, «не связаны ни с потоками в жидкости, ни с ее постепенным испарением, а присущи самим частичкам». Наблюдение Броуна подтвердили другие ученые. Мельчайшие частички вели себя, как живые, причем «танец» частиц ускорялся с повышением температуры и с уменьшением размера частиц и явно замедлялся при замене воды более вязкой средой. Это удивительное явление никогда не прекращалось: его можно было наблюдать сколь угодно долго. Поначалу Броун подумал даже, что в поле микроскопа действительно попали живые существа, тем более что пыльца – это мужские половые клетки растений, однако так же вели частички из мертвых растений, даже из засушенных за сто лет до этого в гербариях. Тогда Броун подумал, не есть ли это «элементарные молекулы живых существ», о которых говорил знаменитый французский естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707–1788), автор 36-томной Естественной истории. Это предположение отпало, когда Броун начал исследовать явно неживые объекты; сначала это были очень мелкие частички угля, а также сажи и пыли лондонского воздуха, затем тонко растертые неорганические вещества: стекло, множество различных минералов. «Активные молекулы» оказались повсюду: «В каждом минерале, – писал Броун, – который мне удавалось измельчить в пыль до такой степени, чтобы она могла в течение какого-то времени быть взвешенной в воде, я находил, в больших или меньших количествах, эти молекулы».

Надо сказать, что у Броуна не было каких-то новейших микроскопов. В своей статье он специально подчеркивает, что у него были обычные двояковыпуклые линзы, которыми он пользовался в течение нескольких лет. И далее пишет: «В ходе всего исследования я продолжал использовать те же линзы, с которыми начал работу, чтобы придать больше убедительности моим утверждениям и чтобы сделать их как можно более доступными для обычных наблюдений».

Сейчас чтобы повторить наблюдение Броуна достаточно иметь не очень сильный микроскоп и рассмотреть с его помощью дым в зачерненной коробочке, освещенный через боковое отверстие лучом интенсивного света. В газе явление проявляется значительно ярче, чем в жидкости: видны рассеивающие свет маленькие клочки пепла или сажи (в зависимости от источника дыма), которые непрерывно скачут туда и сюда.

Как это часто бывает в науке, спустя многие годы историки обнаружили, что еще в 1670 изобретатель микроскопа голландец Антони Левенгук, видимо, наблюдал аналогичное явление, но редкость и несовершенство микроскопов, зачаточное состояние молекулярного учения в то время не привлекли внимания к наблюдению Левенгука, поэтому открытие справедливо приписывают Броуну, который впервые подробно его изучил и описал.

Измерение броуновского движения микроскопической частицы

Специалисты из политехнического университета Лозанны EPFL, университета Техаса в Остине (University of Texas at Austin) и Европейской лаборатории молекулярной биологии (European Molecular Biology Laboratory, Гейдельберг) впервые точно измерили броуновское движение микроскопической частицы.

В уникальном опыте броуновское движение взвешенной в жидкости частицы микронного размера удалось записать с геометрической точностью менее одного нанометра и с временным шагом в несколько микросекунд. Такой точности измерений удалось добиться с помощью так называемого фотонного силового микроскопа.

Оказалось, броуновское движение единственной частицы происходит иначе, чем постулировал Эйнштейн сто лет назад. Потому команда исследователей предложила исправленную версию стандартной модели броуновского движения.

Эйнштейн первый рассчитал параметры броуновского движения, показав, что нерегулярное перемещение частиц, взвешенных в жидкости, вызвано случайными ударами соседних молекул, совершающих тепловое движение.

Исследователи теоретически знали: если частица является намного большей чем окружившие её молекулы, она не будет совершать совершенно случайное движение, которое предсказал Эйнштейн. Получив импульс от столкновения с молекулой, частица, в свою очередь, влияет на поток в жидкости, причём огромную роль тут будет играть и инерция жидкости, и инерция частицы.

Но до сих пор не было никакого экспериментального подтверждения этим представлениям, на уровне единственной частицы, которое наглядно показало бы все эти эффекты.

Именно такой опыт и поставила международная команда. В нём физики увидели, что время, которое требуется частице, чтобы сделать переход от баллистического движения (после удара) до движения диффузионного – намного больше, чем предсказывала классическая теория.

Исследователи составили новую версию уравнения, описывающего броуновское движение, и отметили, что расхождение с прежней теорией наблюдается тем большее, чем к меньшим масштабам времени переходит наблюдатель.

Эти данные очень важны для исследований в ряде областей – в нанотехнологиях, например, или в биохимии, где броуновские эффекты играют огромную роль.

Теория броуновского движения

В начале 20 в. большинство ученых понимали молекулярную природу броуновского движения. Но все объяснения оставались чисто качественными, никакая количественная теория не выдерживала экспериментальной проверки. Кроме того, сами экспериментальные результаты были неотчетливы: фантастическое зрелище безостановочно мечущихся частиц гипнотизировало экспериментаторов, и какие именно характеристики явления нужно измерять, они не знали.

Несмотря на кажущийся полный беспорядок, случайные перемещения броуновских частиц оказалось все же возможным описать математической зависимостью. Впервые строгое объяснение броуновского движения дал в 1904 польский физик Мариан Смолуховский, который в те годы работал в Львовском университете. Одновременно теорию этого явления разрабатывал Альберт Эйнштейн (1879—1955), мало кому известный тогда эксперт 2-го класса в Патентном бюро швейцарского города Берна. Его статья, опубликованная в мае 1905 в немецком журнале Annalen der Physik, называлась О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты. Этим названием Эйнштейн хотел показать, что из молекулярно-кинетической теории строения материи с необходимостью вытекает существование случайного движения мельчайших твердых частиц в жидкостях.

Любопытно, что в самом начале этой статьи Эйнштейн пишет, что знаком с самим явлением, хотя и поверхностно: «Возможно, что рассматриваемые движения тождественны с так называемым броуновским молекулярным движением, однако доступные мне данные относительно последнего столь неточны, что я не мог составить об этом определенного мнения». А спустя десятки лет, уже на склоне жизни, Эйнштейн написал в свои воспоминаниях нечто иное — что вообще не знал о броуновском движении и фактически заново «открыл» его чисто теоретически: «Не зная, что наблюдения над „броуновским движением“ давно известны, я открыл, что атомистическая теория приводит к существованию доступного наблюдению движения микроскопических взвешенных частиц». Как бы то ни было, а заканчивалась теоретическая статья Эйнштейна прямым призывом к экспериментаторам проверить его выводы на опыте: «Если бы какому-либо исследователю удалось вскоре ответить на поднятые здесь вопросы!» — таким необычным восклицанием заканчивает он свою статью.

Ответ на страстный призыв Эйнштейна не заставил себя долго ждать.

В соответствии с теорией Смолуховского-Эйнштейна, среднее значение квадрата смещения броуновской частицы (s²) за время t прямо пропорционально температуре Т и обратно пропорционально вязкости жидкости h, размеру частицы r и постоянной Авогадро N_A $$s^2 = \frac {2 R T t}{6 \pi h r N_A },$$

где R — газовая постоянная. Так, если за 1 мин частица диаметром 1 мкм сместится на 10 мкм, то за 9 мин — на 10= 30 мкм, за 25 мин — на 10= 50 мкм и т. д. В аналогичных условиях частица диаметром 0,25 мкм за те же отрезки времени (1, 9 и 25 мин) сместится соответственно на 20, 60 и 100 мкм, так как = 2. Важно, что в приведенную формулу входит постоянная Авогадро, которую таким образом, можно определить путем количественных измерений перемещения броуновской частицы, что и сделал французский физик Жан Батист Перрен.

В 1908 Перрен начал количественные наблюдения за движением броуновских частиц под микроскопом. Он использовал изобретенный в 1902 ультрамикроскоп, который позволял обнаруживать мельчайшие частицы благодаря рассеянию на них света от мощного бокового осветителя. Крошечные шарики почти сферической формы и примерно одинакового размера Перрен получал из гуммигута — сгущенного сока некоторых тропических деревьев (он используется и как желтая акварельная краска). Эти крошечные шарики были взвешены в глицерине, содержащем 12 % воды; вязкая жидкость препятствовала появлению в ней внутренних потоков, которые смазали бы картину. Вооружившись секундомером, Перрен отмечал и потом зарисовывал (конечно, в сильно увеличенном масштабе) на разграфленном листе бумаги положение частиц через равные интервалы, например, через каждые полминуты. Соединяя полученные точки прямыми, он получал замысловатые траектории, некоторые из них приведены на рисунке (они взяты из книги Перрена Атомы, опубликованной в 1920 в Париже). Такое хаотичное, беспорядочное движение частиц приводит к тому, что перемещаются они в пространстве довольно медленно: сумма отрезков намного больше смещения частицы от первой точки до последней.

Последовательные положения через каждые 30 секунд трех броуновских частиц — шариков гуммигута размером около 1 мкм. Одна клетка соответствует расстоянию 3 мкм. Если бы Перрен смог определять положение броуновских частиц не через 30, а через 3 секунды, то прямые между каждыми соседними точками превратились бы в такую же сложную зигзагообразную ломаную линию, только меньшего масштаба.

Используя теоретическую формулу и свои результаты, Перрен получил достаточно точное для того времени значение числа Авогадро: 6,8·10²³. Перрен исследовал также с помощью микроскопа распределение броуновских частиц по вертикали (см. закон Авагадро) и показал, что, несмотря на действие земного притяжения, они остаются в растворе во взвешенном состоянии. Перрену принадлежат и другие важные работы. В 1895 он доказал, что катодные лучи — это отрицательные электрические заряды (электроны), в 1901 впервые предложил планетарную модель атома. В 1926 он был удостоен Нобелевской премии по физике.

Результаты, полученные Перреном, подтвердили теоретические выводы Эйнштейна. Это произвело сильное впечатление. Как написал через много лет американский физик А.Пайс, «не перестаешь удивляться этому результату, полученному таким простым способом: достаточно приготовить взвесь шариков, размер которых велик по сравнению с размером простых молекул, взять секундомер и микроскоп, и можно определить постоянную Авогадро!» Можно удивляться и другому: до сих пор в научных журналах (Nature, Science, Journal of Chemical Education) время от времени появляются описания новых экспериментов по броуновскому движению! После публикации результатов Перрена бывший противник атомизма Оствальд признался, что «совпадение броуновского движения с требованиями кинетической гипотезы… дает теперь право самому осторожному ученому говорить об экспериментальном доказательстве атомистической теории материи. Таким образом, атомистическая теория возведена в ранг научной, прочно обоснованной теории». Ему вторит французский математик и физик Анри Пуанкаре: «Блестящее определение числа атомов Перреном завершило триумф атомизма… Атом химиков стал теперь реальностью».

Броуновское движение и диффузия.

Перемещение броуновских частиц внешне весьма напоминает перемещение отдельных молекул в результате их теплового движения. Такое перемещение называется диффузией. Еще до работ Смолуховского и Эйнштейна были установлены законы движения молекул в наиболее простом случае газообразного состояния вещества. Оказалось, что молекулы в газах движутся очень быстро – со скоростью пули, но далеко «улететь» не могут, так как очень часто сталкиваются с другими молекулами. Например, молекулы кислорода и азота в воздухе, двигаясь в среднем со скоростью примерно 500 м/с, испытывают каждую секунду более миллиарда столкновений. Поэтому путь молекулы, если бы могли за ним проследить, представлял бы собой сложную ломаную линию. Подобную же траекторию описывают и броуновские частицы, если фиксировать их положение через определенные промежутки времени. И диффузия, и броуновское движение являются следствием хаотичного теплового движения молекул и потому описываются сходными математическими зависимостями. Различие состоит в том, что молекулы в газах движутся по прямой, пока не столкнутся с другими молекулами, после чего меняют направление движения. Броуновская же частица никаких «свободных полетов», в отличие от молекулы, не совершает, а испытывает очень частые мелкие и нерегулярные «дрожания», в результате которых она хаотически смещается то в одну, то в другую сторону. Как показали расчеты, для частицы размером 0,1 мкм одно перемещение происходит за три миллиардные доли секунды на расстояние всего 0,5 нм (1 нм = 0,001 мкм). По меткому выражению одного автора, это напоминает перемещения пустой банки из-под пива на площади, где собралась толпа людей.

Диффузию наблюдать намного проще, чем броуновское движение, поскольку для этого не нужен микроскоп: наблюдаются перемещения не отдельных частиц, а огромной их массы, нужно только обеспечить, чтобы на диффузию не накладывалось конвекция – перемешивание вещества в результате вихревых потоков (такие потоки легко заметить, капнув каплю окрашенного раствора, например, чернил, в стакан с горячей водой).

Диффузию удобно наблюдать в густых гелях. Такой гель можно приготовить, например, в баночке из-под пенициллина, приготовив в ней 4–5%-ный раствор желатина. Желатин сначала должен несколько часов набухать, а затем его полностью растворяют при перемешивании, опустив баночку в горячую воду. После охлаждения получается нетекучий гель в виде прозрачной слегка мутноватой массы. Если с помощью острого пинцета осторожно ввести в центр этой массы небольшой кристаллик перманганата калия («марганцовки»), то кристаллик останется висеть в том месте, где его оставили, так как гель не дает ему упасть. Уже через несколько минут вокруг кристаллика начнет расти окрашенный в фиолетовый цвет шарик, со временем он становится все больше и больше, пока стенки баночки не исказят его форму. Такой же результат можно получить и с помощью кристаллика медного купороса, только в этом случае шарик получится не фиолетовым, а голубым.

Почему получился шарик, понятно: ионы MnO4–, образующиеся при растворении кристалла, переходят в раствор (гель – это, в основном, вода) и в результате диффузии равномерно движутся во все стороны, при этом сила тяжести практически не влияет на скорость диффузии. Диффузия в жидкости идет очень медленно: чтобы шарик вырос на несколько сантиметров, потребуется много часов. В газах диффузия идет намного быстрее, но всё равно если бы воздух не перемешивался, то запах духов или нашатырного спирта распространялся в комнате часами.

Теория броуновского движения: случайные блуждания. Теория Смолуховского – Эйнштейна объясняет закономерности и диффузии, и броуновского движения. Можно рассматривать эти закономерности на примере диффузии. Если скорость молекулы равна u, то, двигаясь по прямой, она за время t пройдет расстояние L = ut, но из-за столкновений с другими молекулами данная молекула не движется по прямой, а непрерывно изменяет направление своего движения. Если бы можно было зарисовать путь молекулы, он принципиально ничем бы не отличался от рисунков, полученных Перреном. Из таких рисунков видно, что из-за хаотичного движения молекула смещается на расстояние s, значительно меньшее, чем L. Эти величины связаны соотношением s =, где l – расстояние, которое молекула пролетает от одного столкновения до другого, средняя длина свободного пробега. Измерения показали, что для молекул воздуха при нормальном атмосферном давлении l ~ 0,1 мкм, значит, при скорости 500 м/с молекула азота или кислорода пролетит за 10 000 секунд (меньше трех часов) расстояние L = 5000 км, а сместится от первоначального положения всего лишь на s = 0,7 м (70 см), поэтому вещества за счет диффузии передвигаются так медленно даже в газах.

Путь молекулы в результате диффузии (или путь броуновской частицы) называется случайным блужданием (по-английски random walk). Остряки-физики переиначили это выражение в drunkard's walk – «путь пьяницы». Действительно, перемещение частицы от одного положения до другого (или путь молекулы, претерпевающей множество столкновений) напоминает движение нетрезвого человека. Более того, эта аналогия позволяет также довольно просто вывести основное уравнение такого процесса – на примере одномерного движения, которое легко обобщить на трехмерное. Делают это так.

Пусть подвыпивший матрос вышел поздно вечером из кабачка и направился вдоль улицы. Пройдя путь l до ближайшего фонаря, он отдохнул и пошел... либо дальше, до следующего фонаря, либо назад, к кабачку – ведь он не помнит, откуда пришел. Спрашивается, уйдет он когда-нибудь от кабачка, или так и будет бродить около него, то отдаляясь, то приближаясь к нему? (В другом варианте задачи говорится, что на обоих концах улицы, где кончаются фонари, находятся грязные канавы, и спрашивается, удастся ли матросу не свалиться в одну из них). Интуитивно кажется, что правилен второй ответ. Но он неверен: оказывается, матрос будет постепенно все более удаляться от нулевой точки, хотя и намного медленнее, чем если бы он шел только в одну сторону. Вот как это можно доказать.

Пройдя первый раз до ближайшего фонаря (вправо или влево), матрос окажется на расстоянии s1 = ± l от исходной точки. Так как нас интересует только его удаление от этой точки, но не направление, избавимся от знаков, возведя это выражение в квадрат: s12 = l2. Спустя какое-то время, матрос, совершив уже N «блужданий», окажется на расстоянии

sN = от начала. А пройдя еще раз (в одну из сторон) до ближайшего фонаря, – на расстоянии sN+1 = sN ± l, или, используя квадрат смещения, s2N+1 = s2N ±2sN l + l2. Если матрос много раз повторит это перемещение (от N до N + 1), то в результате усреднения (он с равной вероятностью проходит N-ый шаг вправо или влево), член ±2sNl сократится, так что < s2N+1 = s2N + l2> (угловыми скобками обозначено усредненная величина).

Так как s12 = l2, то

s22 = s12 + l2 = 2l2, s32 = s22 + l2 = 3ll2 и т.д., т.е. s2N = Nl2 или sN =l. Общий пройденный путь L можно записать и как произведение скорости матроса на время в пути (L = ut), и как произведение числа блужданий на расстояние между фонарями (L = Nl), следовательно, ut = Nl, откуда N = ut/l и окончательно sN = . Таким образом получается зависимость смещения матроса (а также молекулы или броуновской частицы) от времени. Например, если между фонарями 10 м и матрос идет со скоростью 1 м/с, то за час его общий путь составит L = 3600 м = 3,6 км, тогда как смещение от нулевой точки за то же время будет равно всего s = = 190 м. За три часа он пройдет L = 10,8 км, а сместится на s = 330 м и т.д.

Произведение ul в полученной формуле можно сопоставить с коэффициентом диффузии, который, как показал ирландский физик и математик Джордж Габриел Стокс (1819–1903), зависит от размера частицы и вязкости среды. На основании подобных соображений Эйнштейн и вывел свое уравнение.

Теория броуновского движения в реальной жизни.

Теория случайных блужданий имеет важное практическое приложение. Говорят, что в отсутствие ориентиров (солнце, звезды, шум шоссе или железной дороги и т.п.) человек бродит в лесу, по полю в буране или в густом тумане кругами, все время возвращаясь на прежнее место. На самом деле он ходит не кругами, а примерно так, как движутся молекулы или броуновские частицы. На прежнее место он вернуться может, но только случайно. А вот свой путь он пересекает много раз. Рассказывают также, что замерзших в пургу людей находили «в каком-нибудь километре» от ближайшего жилья или дороги, однако на самом деле у человека не было никаких шансов пройти этот километр, и вот почему.

Чтобы рассчитать, насколько сместится человек в результате случайных блужданий, надо знать величину l, т.е. расстояние, которое человек может пройти по прямой, не имея никаких ориентиров. Эту величину с помощью студентов-добровольцев измерил доктор геолого-минералогических наук Б.С.Горобец. Он, конечно, не оставлял их в дремучем лесу или на заснеженном поле, все было проще – студента ставили в центре пустого стадиона, завязывали ему глаза и просили в полной тишине (чтобы исключить ориентирование по звукам) пройти до конца футбольного поля. Оказалось, что в среднем студент проходил по прямой всего лишь около 20 метров (отклонение от идеальной прямой не превышало 5°), а потом начинал все более отклоняться от первоначального направления. В конце концов, он останавливался, далеко не дойдя до края.

Пусть теперь человек идет (вернее, блуждает) в лесу со скоростью 2 километра в час (для дороги это очень медленно, но для густого леса – очень быстро), тогда если величина l равна 20 метрам, то за час он пройдет 2 км, но сместится всего лишь на 200 м, за два часа – примерно на 280 м, за три часа – 350 м, за 4 часа – 400 м и т. д. А двигаясь по прямой с такой скоростью, человек за 4 часа прошел бы 8 километров, поэтому в инструкциях по технике безопасности полевых работ есть такое правило: если ориентиры потеряны, надо оставаться на месте, обустраивать убежище и ждать окончания ненастья (может выглянуть солнце) или помощи. В лесу же двигаться по прямой помогут ориентиры – деревья или кусты, причем каждый раз надо держаться двух таких ориентиров – одного спереди, другого сзади. Но, конечно, лучше всего брать с собой компас...

Автор вышеозначенных статей, за исключением статьи "Броуновское движение"; "Сущность явления"; "Как наблюдать броуновское движение"; "Измерение броуновского движения микроскопической частицы" - Илья Леенсон. Материал на страницу Википедии предоставила Al`kard Hellsing

См. также

• Броуновское дерево