Гильбертовы пространства

Вибрационная строка может быть смоделирована в виде точки в гильбертовом пространстве. Разложение вибрирующей струны в ее колебания с различными обертонами дает проекцию точки на оси координат в пространстве.

Ги́льбертовы простра́нства, математическое понятие, обобщающее понятие Евклидово пространство, допускающее бесконечную размерность.

Оно названо в честь Давида Гильберта.

Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ немецкого математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие гильбертово пространство находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются линейные операторы. Само понятие гильбертовы пространства сформировалось в работах Д. Гильберта и Э. Шмидта по теории интегральных уравнений, а абстрактное определение было дано в работах Дж. Неймана, Ф. Рисcа и М. Стоуна по теории эрмитовых операторов.

Определение

Гильбертовы пространства - линейное (векторное) пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), в котором для любых двух элементов пространства $x$ и $y$ определено скалярное произведение $(x,y)$ и полное относительно порожденной скалярным произведением метрики $d(x,y)=||x-y||=\sqrt{(x-y,x-y)}$. Если условие полноты пространства не выполнено, то говорят о предгильбертовом пространстве. Однако, большинство из известных (используемых) пространств либо являются полными, либо могут быть пополнены.

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как $||x||=\sqrt{(x,x)}$

Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма: $$(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).$$ Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством $$(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.$$ Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством $$(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+ i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2$$(поляризационное тождество).

Линейные операторы в гильбертовых пространствах

Линейный оператор $A$ может быть представлен в данном базисе матричными элементами единственным образом: $a_{ij}=(Ae_i,e_j)$

Линейный оператор $A^*$ называется сопряженным к оператору $A$, если для любых элементов $x$ и $y$ выполнено равенство $(Ax,y)=(x,A^*y)$. Норма сопряженного оператора равна норме самого оператора.

Линейный ограниченный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если $A^*=A$

Оператор P, определенный на всем пространстве, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию на некоторое подпространство называется проектирующим оператором, (оператором проектирования, ортопроектором). Проектирующий оператор является линейным самосопряженным оператором с единичной нормой, для которого выполнено равенство $P^2=P$. Произведение двух проектирующих операторов является проектирующим тогда и только тогда, когда они перестановочны: $P_1P_2=P_2P_1$

Спектр оператора Спектральные разложения операторов

Один из извесных примеров

Один из наиболее известных примеров из гильбертова пространства в Евклидово пространство состоящий из трех-мерной векторы обозначается R3 и оснащенный скалярное произведение. Скалярное произведение занимает два вектора x и y и дает реальный номер x·y. Если x и y представлены Декартовыми координатами, то скалярное произведение определяется: $$(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$

Скалярное произведение удовлетворяет свойствам:

1. Это симметрично в x и y: x · y = y · x.
2. Это является линейным первым аргументом: (ax₁ + bx₂) · y = ax₁ · y + bx₂ · y для любых скаляров a, b и векторов x₁, x₂, and y.
3. Это положительно определено: для всех векторов x, x · x не менее 0, с помощью равенства, только при условии, если x = 0.

Полнота означает, что если частица движется вдоль Броукен (в синем) в путевых конечных общих расстояний, то частица имеет хорошо определенный нетто-объем (оранжевым цветом).

Операции пар векторов, которые, как скалярное произведение, удовлетворяет этим трём свойствам, называется (реальные) внутренние продукты. Векторное пространство, которое комплектует такой внутренний продукт известено как (реальное) внутреннее пространство продуктов. Каждый конечномерный внутренний продукт пространство также гильбертовое пространство. Основные функции скалярного произведения, что связывают его с евклидовой геометрии, то это относится как к длине (или норме) вектора, обозначенный ||x||и углом θ между двумя векторами x и y с помощью формулы:

$$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.$$

Многомерный анализ в евклидовом пространстве опирается на возможность вычисления лимиты и провести полезные критерии заключения, что существуют границы. A математическая серия: $$\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n$$

Клемма состоит из векторов из R3 - абсолютно сходящихся при условии, что сумма длин сходится, как обычный ряд действительных чисел.

Свойства

• Теорема Рисса — Фреше: для любой ортонормированной системы векторов ${\lbrace \phi_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}$ в гильбертовом пространстве $H$ и числовой последовательности ${\lbrace C_i \rbrace}_{i = 1}^{\infty}$, такой что $\sum_{i = 1}^{\infty} C_i^2 < \infty$, в $H$ существует такой элемент $u$, что $C_i = \left( u, \phi_i \right)$ и ${\left\Vert u \right\Vert}^2 = \sum_{i = 1}^{\infty} {\left( u, \phi_i \right)}^2$.
• Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.

Примеры

• Евклидово пространство.
• Пространство $\ell^2$. Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел $x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, для которых сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2$. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

  $(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n$.

• Пространство $L^2[a,b]$ измеримых функций с вещественными значениями на отрезке $[a,b]$ с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл

  $\int\limits_a^b\!|f|^2\,dx$

определён и конечен, притом функции, отличающиеся между собой на множестве мере нуль — отождествляются между собой (то есть, формально, $L^2[a,b]$ есть соответствующее множество классов эквивалентностей). Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

$$(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx.$$

Для пространств $\ell^2$ и $L^2[a,b]$ над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя: $$(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n;$$ $$(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx.$$

См. также

• Теорема представлений Риса
• Равенство Парсеваля
• Предгильбертово пространство
• Математика цветного зрения (версия Миг)

Литература

• Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.