Гомоморфизм

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Не следует путать с «гомеоморфизм».

Гомоморфизм (греч. ὁμός, «равный», «одинаковый» + μορφή, «вид», «форма») — морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющий основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы \((G_1,+)\!\,\), \((G_2, \circ)\). Отображение \(f \colon G_1 \to G_2\!\,\) называется гомоморфизмом групп \(G_1\) и \(G_2\), если оно одну групповую операцию переводит в другую: \(f(a+b)=f(a)\circ f(b)\).

Связанные определения[править]

  • Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.

Наглядные иллюстрации[править]

Вот как наглядно иллюстрирует понятие гомоморфного образа группы Дэниел Горенстейн:


В гомоморфном образе группы «отражается» определённое в этой группе умножение, хотя сама группа как бы уменьшается. Это похоже на рассматривание объекта в перевёрнутую подзорную трубу: его общие черты сохраняются, хотя видимые размеры становятся меньше.

Широко известное среди математиков предложение: Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе прообраза по ядру гомоморфизма — совершенно верное утверждение, которое можно читать как стихотворение.

Важная характеризация простых групп в терминах гомоморфного образа: простая группа может иметь в качестве гомоморфным образом либо тривиальную единичную группу, либо саму себя. И обратно, если группа имеет в качестве гомоморфных образов только тождественный и одноточечный, то она проста. Эта характеризация полезна для наглядного определения проста заданная группа или нет.

Типы гомоморфизмов[править]

Литература[править]

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике — 1970, стр. 332