Теория категорий

From Традиция
(Redirected from Морфизм)
Jump to navigation Jump to search

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике и в теоретической физике.

Определение[edit | edit source]

Категория C \mathcal{C} — это:

  • класс объектов O b C Ob_{\mathcal{C}} ;
  • для каждой пары объектов X , Y X,Y задано множество морфизмов M o r C ( X , Y ) Mor_{\mathcal{C}}(X,Y) ;
  • для пары морфизмов f M o r ( X , Y ) f\in Mor(X,Y) и g M o r ( Y , Z ) g\in Mor(Y,Z) определена композиция g f M o r ( X , Z ) g\circ f\in Mor(X,Z) ;
  • для каждого объекта X X задан тождественный морфизм i d X M o r ( X , X ) id_X\in Mor(X,X) ;

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: h ( g f ) = ( h g ) f h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f и
  • тождественный морфизм действует тривиально: f i d X = i d Y f = f f\circ id_X = id_Y\circ f = f
Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.

Примеры категорий[edit | edit source]

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы[edit | edit source]

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

296px

Двойственность[edit | edit source]

Для категории C \mathcal{C} можно определить двойственную категорию C o p \mathcal{C}^{op} , в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»: M o r C o p ( B , A ) M o r C ( A , B ) Mor_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq Mor_{\mathcal{C}}(A,B)

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства[edit | edit source]

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм[edit | edit source]

Морфизм f M o r ( A , B ) f\in Mor(A,B) называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g M o r ( B , A ) g \in Mor(B,A) , что g f = i d A g\circ f = id_A и f g = i d B f\circ g = id_B . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов E n d ( A ) = M o r ( A , A ) End(A) = Mor(A,A) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом i d A id_A .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов A u t ( A ) Aut(A) .

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм[edit | edit source]

Мономорфизм — это морфизм f M o r ( A , B ) f\in Mor(A,B) такой, что для любых g 1 , g 2 M o r ( X , A ) g_1,g_2\in Mor(X,A) из f g 1 = f g 2 f\circ g_1 = f\circ g_2 следует, что g 1 = g 2 g_1=g_2 . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых g 1 , g 2 M o r ( B , X ) g_1,g_2\in Mor(B,X) из g 1 f = g 2 f g_1\circ f = g_2\circ f следует g 1 = g 2 g_1=g_2 .

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты[edit | edit source]

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество \empty , терминальным — множество из одного элемента { } \{\cdot\} .
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Прямое произведение, прямая сумма[edit | edit source]

Файл:CD product.png
Прямое произведение

Прямое произведение объектов A и B это объект A×B с эпиморфизмами p 1 : A × B A p_1: A\times B\to A и p 2 : A × B B p_2: A\times B \to B такой, что для любого объекта C с морфизмами f 1 : C A f_1: C\to A и f 2 : C B f_2: C\to B существует единственный морфизм g : C A × B g: C \to A\times B такой, что диаграмма на рисунке коммутативна.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B это произведение в смысле теории множеств A × B A\times B , а прямая сумма — несвязное объединение A B A \sqcup B .
Пример: В категории Ring прямая сумма это тензорное произведение A B A\otimes B , а прямое произведение — сумма колец A B A\oplus B .
Пример: В категории VectK прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это сумма векторных пространств A B A\oplus B .

Функторы[edit | edit source]

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор F : C D \mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D} ставит в соответствие каждому объекту категории C \mathcal{C} объект категории D \mathcal{D} и каждому морфизму f : A B f: A\to B морфизм F ( f ) : F ( A ) F ( B ) F(f): F(A)\to F(B) так, что

  • F ( i d A ) = i d F ( A ) F(id_A) = id_{F(A)} и
  • F ( g ) F ( f ) = F ( g f ) F(g)\circ F(f) = F(g\circ f) .

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из C \mathcal{C} в D o p \mathcal{D}^{op} , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Типы категорий[edit | edit source]

См. также[edit | edit source]

Ссылки[edit | edit source]