Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике и в теоретической физике.

Определение

Категория $\mathcal{C}$ — это:

• класс объектов $Ob_{\mathcal{C}}$;
• для каждой пары объектов $X,Y$ задано множество морфизмов $Mor_{\mathcal{C}}(X,Y)$;
• для пары морфизмов $f\in Mor(X,Y)$ и $g\in Mor(Y,Z)$ определена композиция $g\circ f\in Mor(X,Z)$;
• для каждого объекта $X$ задан тождественный морфизм $id_X\in Mor(X,X)$;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$ и
• тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ id_X = id_Y\circ f = f$

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.

Примеры категорий

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

296px

Двойственность

Для категории $\mathcal{C}$ можно определить двойственную категорию $\mathcal{C}^{op}$, в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: $Mor_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq Mor_{\mathcal{C}}(A,B)$

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм $f\in Mor(A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм $g \in Mor(B,A)$, что $g\circ f = id_A$ и $f\circ g = id_B$. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $End(A) = Mor(A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $id_A$.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $Aut(A)$.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм $f\in Mor(A,B)$ такой, что для любых $g_1,g_2\in Mor(X,A)$ из $f\circ g_1 = f\circ g_2$ следует, что $g_1=g_2$. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых $g_1,g_2\in Mor(B,X)$ из $g_1\circ f = g_2\circ f$ следует $g_1=g_2$.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество $\empty$, терминальным — множество из одного элемента $\{\cdot\}$.

Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Прямое произведение, прямая сумма

Файл:CD product.png

Прямое произведение

Прямое произведение объектов A и B это объект A×B с эпиморфизмами $p_1: A\times B\to A$ и $p_2: A\times B \to B$ такой, что для любого объекта C с морфизмами $f_1: C\to A$ и $f_2: C\to B$ существует единственный морфизм $g: C \to A\times B$ такой, что диаграмма на рисунке коммутативна.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B это произведение в смысле теории множеств $A\times B$, а прямая сумма — несвязное объединение $A \sqcup B$.

Пример: В категории Ring прямая сумма это тензорное произведение $A\otimes B$, а прямое произведение — сумма колец $A\oplus B$.

Пример: В категории Vect_K прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это сумма векторных пространств $A\oplus B$.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор $\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ ставит в соответствие каждому объекту категории $\mathcal{C}$ объект категории $\mathcal{D}$ и каждому морфизму $f: A\to B$ морфизм $F(f): F(A)\to F(B)$ так, что

• $F(id_A) = id_{F(A)}$ и
• $F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)$.

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из $\mathcal{C}$ в $\mathcal{D}^{op}$, то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Типы категорий

• Моноидальные категории
• Абелевы категории
• Топосы

См. также

• Естественное преобразование
• Предел
• Сопряжённые функторы
• Монады
• Малая категория

Ссылки

• "Category Theory" in Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Цаленко М.С., Шульгейфер Е.Г. Лекции по теории категорий. М., 1970