Коммутативная диаграмма

Коммутативная диаграмма — наглядный способ записи тождеств, разработанный в теории категорий (в качестве визуализации диаграммы типа частичного порядка), и вошедший со второй половины XX века в употребление практически во всех разделах математики, наиболее широко — в алгебраической геометрии.

Коммутативность диаграммы означает, что композиция морфизмов вдоль любого направленного пути зависит только от начала и конца пути. Например, коммутативность следующей диаграммы: $$\begin{CD}A @>f>> B \\@VgVV @VVhV \\C @>>k> D\end{CD}$$ означает, что $h \circ f = k \circ g$.

В примере, иллюстрирующем первую теорему об изоморфизме, коммутативность диаграммы значит ровно то, что $f = \tilde{f} \circ \pi$:

означает, что $h \circ f = k \circ g$

Существуют различные соглашения об обозначениях, чаще всего используется следующий вариант нотации:

• $\rightarrow$ — морфизм,
• $\hookrightarrow$ — мономорфизм,
• $\twoheadrightarrow$ — эпиморфизм,
• $\overset{\sim}{\rightarrow}$ — изоморфизм.

Пунктирная стрелка обычно обозначает искомый морфизм (тогда как сплошные заданы изначально). Подразумевается, что если есть цепочка морфизмов (обозначенных сплошными линиями), соединяющие начало и конец искомого морфизма, то он существует и определяется из свойства коммутативности диаграммы.

В Традиции

В Традиции, простые коммутативные диаграммы (без диагональных элементов) отображаются с помощью расширения MathJax AMScd Американского математического общества.

Ссылки

• Diagram Chasing at MathWorld
• Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories. (англ.) John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories. (англ.) ISBN 0-387-96115-1.