Теория категорий

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике и в теоретической физике.

Определение[править]

Категория \(\mathcal{C}\) — это:

  • класс объектов \(Ob_{\mathcal{C}}\);
  • для каждой пары объектов \(X,Y\) задано множество морфизмов \(Mor_{\mathcal{C}}(X,Y)\);
  • для пары морфизмов \(f\in Mor(X,Y)\) и \(g\in Mor(Y,Z)\) определена композиция \(g\circ f\in Mor(X,Z)\);
  • для каждого объекта \(X\) задан тождественный морфизм \(id_X\in Mor(X,X)\);

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: \(h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f\) и
  • тождественный морфизм действует тривиально: \(f\circ id_X = id_Y\circ f = f\)
Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.

Примеры категорий[править]

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы[править]

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

296px

Двойственность[править]

Для категории \(\mathcal{C}\) можно определить двойственную категорию \(\mathcal{C}^{op}\), в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»: \(Mor_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq Mor_{\mathcal{C}}(A,B)\)

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства[править]

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм[править]

Морфизм \(f\in Mor(A,B)\) называется изоморфизмом, если существует такой морфизм \(g \in Mor(B,A)\), что \(g\circ f = id_A\) и \(f\circ g = id_B\). Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов \(End(A) = Mor(A,A)\) является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом \(id_A\).

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов \(Aut(A)\).

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм[править]

Мономорфизм — это морфизм \(f\in Mor(A,B)\) такой, что для любых \(g_1,g_2\in Mor(X,A)\) из \(f\circ g_1 = f\circ g_2\) следует, что \(g_1=g_2\). Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых \(g_1,g_2\in Mor(B,X)\) из \(g_1\circ f = g_2\circ f\) следует \(g_1=g_2\).

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты[править]

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество \(\empty\), терминальным — множество из одного элемента \(\{\cdot\}\).
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Прямое произведение, прямая сумма[править]

Файл:CD product.png
Прямое произведение

Прямое произведение объектов A и B это объект A×B с эпиморфизмами \(p_1: A\times B\to A\) и \(p_2: A\times B \to B\) такой, что для любого объекта C с морфизмами \(f_1: C\to A\) и \(f_2: C\to B\) существует единственный морфизм \(g: C \to A\times B\) такой, что диаграмма на рисунке коммутативна.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B это произведение в смысле теории множеств \(A\times B\), а прямая сумма — несвязное объединение \(A \sqcup B\).
Пример: В категории Ring прямая сумма это тензорное произведение \(A\otimes B\), а прямое произведение — сумма колец \(A\oplus B\).
Пример: В категории VectK прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это сумма векторных пространств \(A\oplus B\).

Функторы[править]

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор \(\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}\) ставит в соответствие каждому объекту категории \(\mathcal{C}\) объект категории \(\mathcal{D}\) и каждому морфизму \(f: A\to B\) морфизм \(F(f): F(A)\to F(B)\) так, что

  • \(F(id_A) = id_{F(A)}\) и
  • \(F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)\).

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из \(\mathcal{C}\) в \(\mathcal{D}^{op} \), то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Типы категорий[править]

См. также[править]

Ссылки[править]