Группа вращений

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

В механике и геометрии группа вращения является набором всех вращений вокруг начала координат в 3-мерном Евклидовом пространстве, \(\R^3\). По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц \(3\times3\) с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3, SO(3)).

Свойства[править]

  • Группа вращений некоммутативна.
  • Группа вращений является группой Ли.
  • Группа SO(3) диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором \(v\)), проходящей через центр координат, и углом \(\varphi \in [-\pi,\pi]\). Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор \(\varphi v\) и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса \(\pi\). Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам \(\pi\) и \(-\pi\) соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
  • Универсальная накрывающая группы SO(3) является специальной унитарной группой SU(2), или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Литература[править]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7>

См. также[править]


eo:Turnada grupo