Длина кривой

Полигональное приближение кривой

Длиной кривой в метрическом пространстве $(X,\rho)$ называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой $\gamma:[a,b]\to X$ есть величина равная $$\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),$$ где точная верхняя грань берётся по всем разбиениям $P$ отрезка $[a,b]$.

Геометрически это определение означает, что дуга кривой заменяется ломаной, содержащей точки кривой как точки излома, и максимум длин всех таких ломаных принимается за длину кривой.

Связанные определения

Если длина конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае неспрямляемая

См. также

• Длина
• Вариация функции
• Дифференциальная геометрия кривых