Длина кривой

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Полигональное приближение кривой

Длиной кривой в метрическом пространстве \((X,\rho)\) называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой \(\gamma:[a,b]\to X\) есть величина равная $$\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),$$ где точная верхняя грань берётся по всем разбиениям \(P\) отрезка \([a,b]\).

Геометрически это определение означает, что дуга кривой заменяется ломаной, содержащей точки кривой как точки излома, и максимум длин всех таких ломаных принимается за длину кривой.

Связанные определения[править]

Если длина конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае неспрямляемая

См. также[править]