Математические основы квантовой механики

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Квантовая механика
\(\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} \)
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы

Основные понятия[править]

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:[1]

  • Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами \(~\psi\) комплексного сепарабельного гильбертова пространства \(~H\), причем векторы \(~\psi_1\) и \(~\psi_2\) описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда \(~\psi_2=c\psi_1 , \) где \(~c\) — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.
  • Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
  • Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера

$$~i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi , $$

где \(~\hat{H}\) — гамильтониан:

$$~{\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} .$$

Стационарные, т. е. не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:

$$~{{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}} .$$

  • Каждому вектору \(~\psi\not=0\) из пространства \(~H\) отвечает некоторое чистое состояние системы, любой линейный самосопряженный оператор соответствует некоторой наблюдаемой.

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[2]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

См. также[править]

Литература[править]

Ссылки[править]

  1. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.>
  2. Хотя это и не обязательно.