Мера множества

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и \(n\)-мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.

Определения[править]

Конечно-аддитивная мера[править]

Пусть задано пространство \(X\) с выделенным классом подмножеств \(\mathcal{F}\), замкнутым относительно конечных пересечений и объединений.

Функция \(\mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty]\) называется конечно-аддитивной мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \(\mu(\varnothing)=0\).
  2. Если \(\{E_n\}_{n=1}^N\subset\mathcal{F}\) — конечное семейство попарно непересекающихся множеств из \(\mathcal{F}\), то есть \(E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j\), то

$$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^N E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^N\mu(E_n).$$

Альтернативное определение[править]

Система множеств \(\sigma\) называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к \(\sigma\) множества \(A\) и \(A_1\subset A\) вытекает возможность представления множества \(A\) в виде объединения \(A=\bigcup_{k=1}^n A_k\), где \(A_k\) — попарно непересекающиеся множества из \(\sigma\), первое из которых есть заданное множество \(A_1\).

Функция множества \(\mu(A)\) называется мерой, если:

  • область определения \(\sigma_\mu\) функции \(\mu(A)\) есть полукольцо множеств;
  • значения \(\mu(A)\geqslant 0\);
  • \(\mu(A)\) — аддитивна, то есть для любого конечного разложения \(A=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n\), \(A_i\cap A_j=\varnothing\) будет выполнено \(\mu(A)=\sum_{k=1}^n\mu(A_k)\).

Счётно-аддитивная мера[править]

Пусть задано пространство \(X\) с выделенной \(\sigma\)-алгеброй \(\mathcal{F}\).

Функция \(\mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty]\) называется счётно-аддитивной (или \(\sigma\)-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \(\mu(\varnothing)=0.\)
  2. (\(\sigma\)-аддитивность) Если \(\{E_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{F}\) — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из \(\mathcal{F}\), то есть \(E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j\), то

$$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n).$$

Замечания[править]

  • Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
  • Если мера всего пространства конечна, то есть \(\mu(X)\), то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
  • На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с \(\sigma\)-алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.

Связанные определения[править]

Примеры[править]

Вариации и обобщения[править]

Литература[править]

  • Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.>hu:Mérték (matematika)