Модель Кэли — Клейна

Модель Кэли — Клейна (иногда называется просто моделью Клейна) планиметрии Лобачевского — одна из первых моделей геометрии Лобачевского. Может быть построена как на евклидовой, так и на проективной плоскости. С помощью неё удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии (или, соответственно, проективной).

Построение модели Кэли — Клейна

Рис. 1:Внутренняя область овальной квадрики G служит интерпретацией плоскости Лобачевского в модели Кэли — Клейна

Рассмотрим на проективной плоскости невырожденную квадрику G, заданную уравнением $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$, соответственно её внутренняя область Ω будет задаваться неравенством $x_1^2+x_2^2-x_3^2$. Назовём проективным автоморфизмом относительно G проективное преобразование, переводящее абсолют G на себя. Множество всех проективных автоморфизмов Λ переводящих G на себя, составляют подгруппу группы всех проективных преобразований K:

Покажем, что все преобразования из Λ будут переводить Ω снова в Ω.

Действительно, пусть преобразования из Λ переводит произвольную точку X квадрики G в точку X', также принадлежащую G, S — некоторая система координат, в которой G задаётся уравнением $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ , а Ω неравенством $x_1^2+x_2^2-x_3^2$. По определению проективного преобразования существует такая система координат S', в которой координаты точки Х совпадают с координатами её образа X' в системе S'. Если точка O имеет координаты $(x_1, x_2, x_3)$, удовлетворяющие неравенству $x_1^2+x_2^2-x_3^2$, то её образ точка O' в новой системе координат будет иметь координаты $(x'_1, x'_2, x'_3)$ , совпадающие с координатами её прообраза, и, значит, удовлетворяющие неравенству ${x'}^2_1+{x'}^2_2 - {x'}^2_3$, а это означает, что что проективный автоморфизм из Λ переводит внутреннюю область квадрики снова во внутреннюю область.

Автоморфизмы из Λ будем также называть гиперболическими движениями (смысл этого термина будет пояснен ниже).

Отметим, что поскольку $\Lambda \subset K$, то все инварианты из K являются и инвариантами из Λ.

Геометрию группы Λ проективных автоморфизмов невырожденной квадрики G будем называть гиперболической геометрию (геометрией Лобачевского), а интерпретацию этой геометрии назовём моделью Кэли — Клейна. Введём интерпретацию основных объектов и отношений геометрии Лобачевского в этой модели. Исходя из схемы Гильберта, основными объектами будут гиперболические точка (л-точка), прямая (л-прямая) и плоскость (л-плоскость), а основными отношениями — отношения принадлежности, порядка и конгруэнтности.

Интерпретацией л-плоскости Л₂ будет служить множество, на котором действует эта группа Λ — внутренняя область Ω овальной квадрики G (иначе называемой абсолютом), точки, принадлежащие Ω будем интерпретировать как л-точки . Часть проективной прямой (хорды без концов), заключённой внутри абсолюта будем интерпретировать как гиперболическую прямую (л-прямую). В дальнейшем, если в этом не будет особой необходимости, перед соответствующими понятиями слово «гиперболический» и префикс л- будем опускать.

Отношение принадлежности будем понимать в обычном теоретико-множественном смысле.

Введём интерпретацию отношения порядка.
Пусть P и Q — две точки плоскости Л₂, лежащие на л-прямой UV (рис.1). Будем говорить, что точка M прямой UV лежит между A и B, если пара точек P, Q разделяет пару точек M,U (или пару точек M,V). то есть (PQ; MU)<0 (или (PQ, MV)<0). Доказательство корректности этого определения вытекает из теоремы:

Пусть P, Q, М — три точки на хорде UV квадрики G. Если (PQ; MU)<0, то и ((PQ, MV)<0.

Доказательство  

Для доказательства теоремы воспользуемся следующим соотношением:
(PQ, UV)•(PQ, VM)•(PQ, MU)=1        (1) Для того чтобы убедиться в правильности этого равенства, рассмотрим на проективной прямой UV репер R₀=(P, Q, М) и введем в рассмотрение координаты точек U(u₁, u₂) и V(v₁, v₂). Тогда, учитывая, что P (1, 0), Q (0, 1), М(1, 1), по формуле для вычисления сложного отношения четырёх точек через их координаты, получаем: $(P,Q;U, V)=\frac{u_2 v_1}{v_2 u_1}$, $(P,Q;V, M)=\frac{v_2}{v_1}$, $(P,Q;M,U)=\frac{u_1}{u_2}$. Отсюда непосредственно следует равенство (1). По условию теоремы (PQ, MU)< 0. Выше было отмечено, что (PQ, UV) > 0, поэтому из равенства (1) следует, что (PQ, VМ)<0 или (PQ, MV)< 0.

Введём интерпретацию отношения конгруэнтности.
Два подмножества из Л₂ назовём конгруэнтными, если существует такой проективный автоморфизм квадрики G, который переводит одно соответствующее подмножество из Ω в другое соответствующее подмножество.

Следует также отметить, что система $\begin{cases} x_1^2+x_2^2-x_3^2=0 \\ x_3 = 0 \end{cases}$ на проективной плоскости P² не имеет ненулевых решений, таким образом прямая $x_3=0$не пересекает ни абсолют, ни его внутренность. Поэтому, исключая из P² точки прямой x₃=0, мы оставляем множество $\Omega \cup G$ без изменений. Поскольку на проективную плоскость можно смотреть как на расширенную евклидовую плоскость, которая, в свою очередь, вводится присоединением к множеству обыкновенных точек евклидовой плоскости с однородными координатами (x₁,x₂,x₃), где $x_3 \ne 0$, несобственных точек, которым соответствуют тройки (x₁,x₂,0), то удаляя из неё точки прямой x₃=0, мы снова возвращаемся к евклидовой плоскости. Таким образом, можно считать, что множество $\Omega \cup G$ принадлежит евклидовой плоскости. Это даёт возможность в рассуждениях пользоваться рядом евклидовых (или аффинных понятий), таких, как отрезок, луч, направление, простое отношение точек и т. п. Так как $x_3 \ne 0$, то можно перейти от проективных координат к аффинным или декартовым (x, y), где $x=\begin{matrix} \frac{x_1}{x_3} \end{matrix} ,\ y=\begin{matrix} \frac{x_2}{x_3} \end{matrix}$. Следовательно, абсолют представляет cобой эллипс, если (x.y) — аффинные координаты, или окружность, если (x.y) — декартовы координаты. Указанное замечание позволяет в дальнейшем упростить доказательства и использовать вместо проективной евклидову плоскость.

Проверка аксиом

Так как через любые две точки P и Q плоскости (и проективной, и следовательно, евклидовой) можно провести прямую и притом только одну, то через любые две точки внутренней области квадрики G можно провести хорду и притом тоже только одну. Интерпретируя точки и хорды из области Ω как точки и прямые плоскости Лобачевского, делаем вывод, что через любые две л-точки можно провести и притом только одну л-прямую, т есть в модели Кэли — Клейна выполняется требование аксиом I.1 и I.2.

Так как на каждой хорде квадрики G существует две точки, то и на каждой прямой плоскости Лобачевского существуют две точки. Так как во внутренней области Ω квадрики G можно отметить три точки, не лежащие на одной хорде, то на плоскости Л₂ существуют три точки, не лежащие на одной прямой, и аксиома I.3 в модели Кэли — Клейна выполняется.

Так как на открытом отрезке имеет место линейный порядок расположения точек, то в гиперболической геометрии внутри G выполнены требования аксиом II.I-II.3. Аксиома Паша II.4 в гиперболической геометрии также верна, так как выполняется соответствующее утверждение на части и евклидовой, и проективной плоскости.

Рис. 2: Два флага на плоскости Л₂

Выполнимость аксиом первых двух групп позволяет ввести понятия гиперболических отрезка, луча, флага, полуплоскости. Определяться они будут по аналогии с соответствующими понятиями в евклидовой геометрии. Для дальнейших рассуждений воспользуемся следующей теоремой:

Пусть Ω — внутренняя область овальной квадрики G, а F₁ и F₂ — два ее подмножества, определяемые как два л-флага. Каковы бы ни были на гиперболической плоскости два л-флага, существует единственный проективный автоморфизм, переводящий один флаг на другой (рис.2).

Доказательство  

Опустим букву л перед названиями соответствующих понятий. Пусть флаг F₁ состоит из полуплоскости α, л-луча l₁ на её границе и начала л-луча Р. Аналогично флаг F₂ состоит из полуплоскости α', л-луча $l'_1$ на ее границе и начала л-луча Р'. Прямые, содержащие соответственно лучи l₁ и l₁' обозначим через l и $l'$. Полюсы этих прямых относительно овальной квадрики G (абсолюта) обозначим соответственно через Q и Q'. Поляра точки Р пересекает прямую l в некоторой точке R, а поляра точки Р' пересекает прямую $l'$ в точке R'. Трёхвершинники PQR и P'Q' R' являются автополярными относительно квадрики G. Примем вершины Р, Q, R за базисные точки проективной системы координат S. Согласно теореме об упрощении уравнения овальной квадрики с помощью полярного трёхвершинника, в системе S уравнение квадрики G будет иметь вид $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ (рис. 2). Точно так же, приняв точки Р', Q', R' за базисные точки системы координат S', приведем уравнение квадрики G в этой системе к виду ${x'}_1^2+{x'}_2^2-{x'}_3^2=0$.

Если искомый автоморфизм φ существует, то он, как любое проективное преобразование, в системе S будет иметь общий вид в виде системы равенств (1):

$\begin{cases} x'_1=a_{11} x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 \\ x'_2=a_{21} x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 \\ x'_3=a_{31} x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 \end{cases}$    (1)

Так как φ(P)=P', а точки P и P' имеют координаты {(1,0,0)} в системах S и S', то, подставляя эти координаты в систему (1), получим $a_{21}=a_{31}=0$. Аналогично для пар точек Q и Q', R и R' получим $a_{12}=a_{32}=a_{13}=a_{23}=0$. Поэтому система (1) принимает вид

$x'_1=a_{11}x_1, x'_2=a_{22} x_2, x'_3=a_{33}x_3$    (2)

Так как φ(G)=G, то уравнение $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ при преобразовании (2) переходит в уравнение $\frac{{x'}^2_1}{a^2_{11}}+\frac{{x'}^2_2}{a^2_{22}}- \frac{{x'}^2_3}{a^2_{33}}=0,$   (3)

которое задает квадрику G в системе S'. Но в системе S' эта же квадрика задается и уравнением ${x'}_1^2+{x'}_2^2-{x'}_3^2=0$, поэтому $\| a_{11} \|=\| a_{22} \|=\| a_{33} \|$. Не уменьшая общности рассуждения, можно положить a₁₁=1. Тогда равенства (2) принимают вид (4): $x'_1=x_1, x'_2=\pm x_2 , x'_3=\pm x_3$.

В построенной выше системе координат S уравнение прямой l:x₁=0, поэтому в аффинных координатах $x=\begin{matrix} \frac{x_1}{x_3} \end{matrix}, y=\begin{matrix} \frac{x_2}{x_3} \end{matrix}$ полуплоскость α задается неравенством $y > 0$ или $y < 0$. Луч l₁ можно задать неравенством x>0 или неравенством x<0. Всё то же самое можно сказать и о задании полупрямой l'₁ и полуплоскости α'. Для определённости будем считать, что луч $l_1$ задан неравенством x>0, луч $l'_1$ — неравенством $х'>0$, полуплоскость α — неравенством у<0, а полуплоскость α' — неравенством $у'>0$. Тогда равенства (4) принимают вид:

$x'_1=x_1, x'_2=-x_2, x'_3=x_3.$   (5)

Таким образом, если искомый автоморфизм существует, то он должен быть задан системой равенств (5), то есть мы доказали единственность проективного преобразования, удовлетворяющего условиям теоремы. Существование указанного в условии теоремы проективного автоморфизма следует из того, что проективное преобразование (5), очевидно, автоморфно относительно квадрики G и переводит флаг F₁ на флаг F₂.

Из этой теоремы следует, что на каждой гиперболической прямой по каждую сторону от любой ее точки можно отложить, отрезок, конгруэнтный произвольно данному отрезку, и что к каждой полупрямой с любой стороны можно приложить угол, конгруэнтный произвольно данному углу. Таким. образом, вследствие. этой теоремы в гиперболической геометрии оказываются удовлетворенными основные требования аксиом III.1 и III.4. Вследствие группового характера совокупности автоморфизмов два отрезка, конгруэнтные третьему, конгруэнтны между собой; тем самым удовлетворено требование аксиомы III.2. Аналогично показывается выполнение и остальных аксиом третьей группы.

Так как на каждой прямой выполняется принцип Дедекинда, то он будет выполняться и на каждой хорде овальной квадрики. Поскольку мы интерпретировали хорды овальной квадрики, как прямые плоскости Лобачевского, то можно сделать вывод, что принцип Дедекинда будет выполняться и в модели Кэли — Клейна. Предложение Дедекинда эквивалентно аксиомам непрерывности, следовательно, аксиомы непрерывности в модели Кэли — Клейна выполняются.

Рис. 3: Через гиперболическую точку Р проходит бесконечно много гиперболических прямых, не пересекающих прямую а

Поскольку через произвольную точку P внутренней области овальной квадрики не лежащей на данной хорде $a$ можно провести сколь угодно много много хорд, не пересекающих $a$ то это означает, что в гиперболической геометрии будет выполнена аксиома Лобачевского. При этом параллельными мы назовём те прямые, которые имеют с л-прямой $a$ бесконечно-удалённую точку (то есть хорды овальной квадрики имеют общую точку на абсолюте). Очевидно, что через точку $P$ можно провести две параллельные с $a$ л-прямые, прочие не пересекающие $a$ л-прямые будут называться расходящимися.

Длина отрезка

Поскольку в модели Клейна плоскости Лобачевского выполняются аксиомы IV группы, то это позволяет ввести в ней метрику.

Согласно теореме абсолютной геометрии о существовании единственности длины отрезка, если некоторому отрезку приписать единичную длину, то длина любого другого отрезка существует и будет выражена единственным образом. Пусть PQ — отрезок, лежащий на хорде UV абсолюта G. Установим, как можно измерить его длину в рассматриваемой модели.

При любом проективном автоморфизме хорда UV будет переходить в хорду U’V' той же квадрики, а отрезок PQ, лежащий на этой хорде, будет переходить в отрезок P’Q' хорды U’V'. Искомая длина отрезка должна сохраняться при каждом движении, то есть при любом проективном автоморфизме овальной квадрики G. Известно, что инвариантом относительно указанных преобразований будет сложное отношение точек (PQ, UV). Очевидно, что и величина $ln(PQ, UV)$ также будет инвариантом относительно указанных преобразований. Покажем, что этот инвариант обладает свойствами, аналогичными тем, какие в элементарной геометрии характеризуют длину отрезка.

Итак, пусть G — абсолют гиперболической геометрии, P и Q — две произвольные точки, расположенные во внутренней области линии G, а UV — хорда абсолюта, проходящая через эти точки, при этом точки P и Q отметим так, чтобы направление соответствующего отрезка PQ было противоположным направлению отрезка UV. Зададим на множестве пар PQ внутренних точек линии G функцию $\rho(PQ)$ по правилу

$\rho(PQ)=\ln (PQ, UV)$ (*)

при этом будем учитывать только действительную часть логарифма.

Покажем, что функция ρ удовлетворяет аксиомам длины:

1⁰ Функция ρ положительна.

Доказательство: Так как направления PQ противоположно направлению отрезка UV и соответствующие пары точек не разделяют друг друга, то (PQ, UV)>0, следовательно действительное значение логарифма положительно.

2⁰ Если точка R лежит между точками P и Q, то ρ(PQ)=ρ(PR)+ρ(RQ).

Доказательство: Из свойства 5 двойного отношения имеем c In (PQ, UV)| = c ln (PR, UV)•(RQ, UV)=c ln (PR, UV)+ c ln (RQ, UV).

3⁰ Если отрезки PQ и P’Q' равны, то ρ(PQ)=ρ(P’Q').
Доказательство: Равенство л-отрезков PQ и P’Q' означает, что существует проективный автоморфизм квадрики G, отображающий отрезок PQ, лежащий на хорде UV в отрезок P’Q' хорды U’V'. Тогда по свойству проективного преобразования, (PQUV)=(P’Q'U’V'). Из последнего равенства, в силу определения гиперболического расстояния, следует справедливость равенства ρ(PQ)=ρ(P’Q').

4⁰ Существует отрезок AB, такой, что ρ(AB)=1.
Доказательство: Это свойство выполняется, если константе c придать определённое положительное значение.

После того, как длина отрезка стала определена, естественно будет определить в рассматриваемой модели расстояние между двумя точками.

В гиперболической плоскости, моделью которой является внутренняя область абсолюта, расстоянием между двумя точками Х и У мы назовем гиперболическую длину единственного отрезка ХУ, который эти точки соединяет.

Покажем, что пространство Лобачевского является метрическим. Для этого покажем, что в модели Клейна величина ρ(PQ) обладает основными свойствами, присущими метрике.

1⁰ ρ(PP)=0
Доказательство: Справедливость этого утверждения следует из того, что сложное отношение четырёх точек, две из которых совпадают, равно единице.

2⁰ ρ(PQ) = ρ(QP) > 0, если $P \ne Q$

Доказательство: ρ(PQ) = c ln (PQ, UV), ρ(QP)=c ln (QP, VU). Согласно четвёртому свойству сложного отношения, (PQ, UV)=(QP, VU).

3⁰ ρ(PQ) + ρ(QR)≥ ρ(PR).
Доказательство: Рассмотрим два случая:

1. точки P, Q, R лежат на одной прямой
2. точки P, Q, R не лежат на одной прямой

1) Если точки P, Q, R лежат на одной прямой, то выполнимость свойства следует из выполнимости аксиомы 2 для гиперболического расстояния.

2)

Рис. 4:

Пусть точки P, Q, R не лежат на одной прямой. Естественно считать, что сторона PR имеет наибольшую л-длину. Воспользуемся тем, что выше было показано, что можно считать, что внутренность абсолюта G лежит на евклидовой плоскости и представляет собой открытый круг $x_1^2+x_2^2-x_3^2$ в декартовых координатах. По теореме 1 произвольный треугольник PQR, лежащий внутри абсолюта можно гиперболическим движением перевести на треугольник АВO так, чтобы вершина Q попала в центр О круга G (рис. 4). По скольку гиперболическое движение не меняет гиперболического расстояния, то требуется доказать, что в треугольнике АВО $\rho(AB)$

Опустим из точки О на прямую АВ евклидов перпендикуляр OM. Из нижеизложенного будет ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда точка M лежит между точками А и В. Если доказать, что ρ(AM)< ρ(AO), а ρ(MB)< ρ(OB), то из аддитивности гиперболической длины следует неравенство треугольника.

Прямая АО пересекает окружность G в точках U и V. Введём на этой прямой декартову координату ξ так, что точке О отвечает 0, точке U — 1, точке V — (-1), а точке А — $a$ — евклидова длина отрезка.

Для вычисления длины гиперболической длины отрезка ОА' воспользуемся формулой вычисления длины (*), положив с = 1: $\rho(OA)=\ln (O,A,U,V)=\ln \frac {(\xi_U-\xi_O)(\xi_V-\xi_A)}{(\xi_U-\xi_A)(\xi_V-\xi_O)}$

Учитывая значения координат рассматриваемых точек, получаем: $\rho(OA)=\ln \frac {1+a}{1-a}$

Точно так же найдем гиперболическую длину отрезка AM, если на прямой AM введем декартову координату ξ так, чтобы точка М была начальной точкой, точкам пересечения прямой АМ с окружностью G отвечали координаты l и -l, где l — евклидово расстояние точки M от точек пересечения, наконец, точке A отвечала координата $a'$— евклидова длина отрезка AM. Получаем следующую формулу: $\rho(AM)=\ln \frac {l+a'}{l-a'}$.
Так как $l^2=1+a^2-a'^2$, то из последних двух равенств и евклидова неравенства $a'$ следует, что ρ(AM)<ρ(OB).

Важно заметить, что сложное отношение (P,Q,U,V) при стремлении одного из концов отрезка к абсолюту стремится к бесконечности, а потому л-расстояние от любой л-точки до абсолюта бесконечно. На основании этого в модели Клейна будет очевидным доказательство теоремы о том, что каково бы ни было вещественное число $a$ существует отрезок, длина которого равна $a$.

По аналогии с евклидовой геометрией, отображение л-плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками, будет называться гиперболическим движением; очевидно, что любое такое движение может быть интерпретировано как проективный автоморфизм квадрики G.

Рис.5: Значения гиперболического расстояния

Распространяя формулу (*) на случай любой пары точек P и Q плоскости, в которой задана интерпретация геометрии Лобачевского, будем иметь следующую картину изменения расстояния:

1. Для любой пары внутренних точек из Ω $d > 0$.
2. Если один конец отрезка находится внутри абсолюта, а другой вне, то $d \in \mathbb{Z}$. Действительно, в этом случае пары точек и разделяют друг друга, а значит (PQ, UV)<0.
3. Если точки отрезка P и Q лежат во внешней области абсолюта, причём прямая PQ пересекает абсолют в двух действительных точках, то d действительно.
4. Если точки отрезка P и Q лежат во внешней области абсолюта, но прямая PQ не пересекает абсолют в действительных точках, то d мнимо.
5. Если прямая PQ касается абсолюта, но точки P и Q ему не принадлежат, то d=0. Если, в частности, одна из точек абсолюту принадлежит, то d неопределённо.

Случаи 2)—5) представлены на рис. 5, где расстояние от точки P до любой точки $(Q, Q', Q'')$ закрашенной области действительно, расстояние от точки A до любой точки $(Q_0, Q'_0, Q''_0)$ незакрашенной области комплексно, расстояние до любой точки C на любой из касательных (PD) и (PE) равно нулю, а расстояние PD и PE неопределённы. Так как л-длина любого отрезка касательной, вычисляемая по формуле (*), равна нулю, то касательные (PD) и (PE) называются линиями нулевой кривизны в метрике (*) или изотропными линиями.

Найдём теперь формулу, выражающую л-длину отрезка PQ через координаты его концов, если моделью л-плоскости служит единичная окружность x²+y²=1.

Пусть точка P имеет координаты $(x_1, y_1)$, а точка Q — $(x_2, y_2)$. Выразим (PQ, UV) через эти координаты. Обозначим $t_1=\frac {PU}{UQ}, t_2=\frac {PV}{VQ}$.

Пусть $(x_3, y_3)$ — координаты U, $(x_4, y_4)$ — координаты V. Выражая $x_3, y_3, x_4, y_4$ через $x_1, y_1, x_2, y_2, t_1, t_2$, получим равенства: $x_{i+2}=\frac {x_1+t_i x_2}{1+t_i},\ y_{i+2}=\frac {y_1+t_i y_2}{1+t_i},\; i=1, 2$. Так как точки U и V лежат на единичной окружности, то t₁ удовлетворяет уравнению $(x_1+t_i x_2)^2+(y_1+t_i y_2)^2-(1+t_i)^2=0$. Произведём в данном уравнении сделующую следующую замену переменных: $z^2_1=1-x^2_1-y^2_1,\ z^2_2=1-x^2_2-y^2_2,\ z_{12}=1-x_1 x_2 - y_1 y_2$. Тогда данное уравнение преобразуется к следующему виду: $z^2_2 t^2_i - 2z_{12} t_i + z^2_1=0$. Решая это уравнение относительно t_i и учитывая, что t₁:t₂ больше единицы для внутренней пары точек, получаем: $(PQ, UV)=\frac {1+\sqrt{1-\sigma^2}}{1-\sqrt{1-\sigma^2}}$, где $\sigma=\frac {z_1 z_2}{z_{12}}=\frac {\sqrt{1-x^2_1-y^2_1}\cdot \sqrt{1-x^2_2-y^2_2}}{1-x_1 x_2 - y_1 y_2}$. Формула (*) принимает вид: $\rho=c \ln \frac {1+\sqrt{1-\sigma^2}}{1-\sqrt{1-\sigma^2}}$. Потенцируя последнее равенство, имеем: $e^{\frac {\rho}{c}}=\frac {1+\sqrt{1-\sigma^2}}{1-\sqrt{1-\sigma^2}}$. Решая это алгебраичское относительно σ уравнение, получаем: $\operatorname {ch} \frac {\rho}{2c}=\frac {1}{\sigma}=\frac {1-x_1 x_2 - y_1 y_2}{\sqrt{1-x^2_1-y^2_1}\cdot \sqrt{1-x^2_2-y^2_2}}$. Рассматривая здесь различные случаи расположения точек $P(x_1, y_1)$ и $Q(x_2, y_2)$ и абсолюта x²+y²=1, можно показать истинность вышеперечисленных случаев 1) — 5), что уже и было установлено выше.

Перпендикулярность прямых

Рис. 6: гиперболические прямые h и p перпендикулярны

Пусть на плоскости Л₂ заданы две пересекающиеся л-прямые h и p.

Угол Q, образующийся при пересечения прямых h и p называется прямым, если он равен своему смежному углу, а сами прямые h и p — перпендикулярными.

Интерпретируя соответствующим образом понятия гиперболической геометрии в модели Клейна, определение прямого угла можно сформулировать и следующим образом:
Два угла из Л₂ называются прямыми, если существует такой автоморфизм квадрики G, который переводит один угол в другой

Прямые h и p на плоскости Л₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда они изображаются хордами абсолюта G, лежащими на прямых, каждая из которых проходит через полюс другой (иначе говоря, прямые полярно сопряжены).

Доказательство  

Пусть h и р — л-прямые, пересе­ кающиеся в точке Q, пусть, кроме того, прямая h, будучи продолженной из внутренней области абсолюта, проходит через полюс Р прямой p. Произведём проективное гармоническое отображение плоскости на саму себя, выбрав в качестве центра этого отображения точку Р и в качестве его оси — поляру p. Из определения поляры и из определения гармонического отображения следует, что при указанном отображении сегменты внутренней области абсолюта G, разделяемые прямою р, переходят друг в друга. Таким образом, это отображение по отношению к линии G является автоморфизмом, который с точки зрения гиперболической геометрии может рассматриваться как зеркальное отражение относительно прямой р. Далее очевидно, что части прямой h, разделенные точкой Q, отображаются друг на друга, тогда как прямая p остаётся неподвижной. Следовательно, смежные углы, определяемые .прямыми h и p, с точки зрения гиперболической геометрии абсолюта G конгруэнтны друг другу, и значит, прямая h перпендикулярна к прямой p.

Из теоремы проективной геометрии о том, что если одна прямая содержит полюс другой, то вторая содержит полюс первой, в гиперболической геометрии вытекает взаимность свойства перпендикулярности двух прямых (если одна прямая перпендикулярна к другой, то вторая перпендикулярна к первой).

Рис.7: Гиперболическая ортогональность прямых совпадает с евклидовой, если одна из сторон угла проходит через центр абсолюта

Пусть сторона b л-угла (a, b) проходит через центр абсолюта. Если л-угол (a, b) — прямой, то полюс S прямой a лежит на прямой b. Хорду $UV \in a$ можно построить, если от точки S провести касательные к абсолюту G. Тогда если UV — не диаметр, то треугольник SUV — равнобедренный и прямая b является его высотой к основанию (рис. 7), либо если UV — диаметр, то прямая b — средняя линия между параллельными касательными в точках U и V. В любом случае следует, что угол между прямыми a и b будет прямым и в евклидовом смысле.

Таким образом, гиперболическая ортогональность прямых совпадает с евклидовой, если одна из прямых проходит через центр абсолюта.

Мера угла

Рис. 8: три угла с общей вершиной S

По аналогии с определением меры угла в евклидовой геометрии, мерой л-угла будем называть функцию α от его сторон а и b, удовлетворяющая следующим условиям:

1. α(a, b) — инвариант относительно группы гиперболических движений (проективных автоморфизмов);
2. (свойство аддитивности) Если луч с лежит внутри угла $\angle (a.b)$, то α(a, b)=α(a, c)+α(b, c) ;
3. Если $\angle (a.b)$ — прямой, то $\alpha (a,b)=\begin{matrix} \frac{\pi}{2} \end{matrix}$
   

Последнее требование вводится для внесения однозначности в измерение углов.

Поставим в соответсвие каждой стороне угла, как поляре, её полюс. Пусть A, B, C будут полюсы сторон $a, b, c$ углов с общей вершиной S (рис. 8). Точки A, B, C будут лежат на одной прямой — поляре вершины S.

Так как полярные свойства абсолюта инвариантны относительно проективных преобразований (поляра и полюс переходят соответственно в поляру и полюс), то инвариант α(a, b) пары лучей одновременно является инвариантом соответствующей пары полюсов A, B, и, следовательно, вышеназванные свойства можно переформулировать в следующим виде:

1. α(A, B) — инвариант относительно группы гиперболических движений;
2. Если C лежит между A и B, то α(A, B)=α(A, C)+α(B, C)
3. $\alpha (A, B)=\begin{matrix} \frac{\pi}{2} \end{matrix}$ для пары точек A и B, гармонически разделяющих пару точек P и Q пересечения прямой AB с абсолютом (поскольку стороны a и b полярно сопряжены относительно абсолюта).

Известно, что функция. удовлетворяющая этим требованиям имеет вид $\alpha (A, B)=c \ln (AB, PQ)$, где P и Q — точки пересечения прямой AB с абсолютом, c — константа. В данном случае, константа, исходя из требования (3) будет определяться однозначно. Действительно, если $\angle (a.b)$ прямой, то (AB, PQ)=-1. Так как $\alpha (A, B)=\begin{matrix} \frac{\pi}{2} \end{matrix}$, а ln(-1)=πi, то $c=\begin{matrix} \frac{1}{2i} \end{matrix}$. Таким образом, для мы получаем следующую формулу для вычисления меры угла (**): $\alpha (a, b)=\begin{matrix} \frac{1}{2i} \end{matrix} \ln (AB, PQ)$

Сравнивая формулы (**) — для вычисления меры угла и (*) — для вычисления л-расстояния, находим формулу $\alpha=\frac {\rho}{2ic}$, выражающую зависимость л-угла α и л-расстояния ρ между полюсами A и B его сторон. Она показывает, что когда ρ действительно, α мнимо и наоборот — для углов с вершиной внутри абсолюта эта формула даёт действительное значение.

Найдём теперь формулу, выражающую меру угла α через координаты полюсов его сторон. Пусть (x₁, y₁) — координаты полюса A стороны $a$, (x₂, y₂) — координаты полюса B стороны $b$. Воспользуемся формулой $\operatorname {ch} \frac {\rho (A, B)}{2c}=\frac {1-x_1 x_2 - y_1 y_2}{\sqrt{1-x^2_1-y^2_1}\cdot \sqrt{1-x^2_2-y^2_2}}$

Полагая здесь ρ=2αic и учитывая связь гиперболического косинуса с тригонометрическим: $\operatorname {ch} z = \cos \frac {z} {i}$ получаем следующую формулу для л-меры угла α: $\cos \alpha=\frac {1-x_1 x_2 - y_1 y_2}{\sqrt{1-x^2_1-y^2_1}\cdot \sqrt{1-x^2_2-y^2_2}}$ или

$\cos \alpha=\frac {x_1 x_2 + y_1 y_2 - 1}{\sqrt{x^2_1+y^2_1 -1}\cdot \sqrt{x^2_2+y^2_2-1}}$ (***)

.

Если угол α — прямой, то cos α=0 и, следовательно, 1-x₁x₂-y₁y₂=0. И наоборот, если последнее равенство выполняется, то угол α — прямой. Поэтому равенство 1-x₁x₂-y₁y₂=0 является условием перпендикулярности прямых.

Пусть теперь уравнения $u_1 x+v_1 y+w_1=0$ и $u_2 x+v_2 y+w_2=0$, где u_i, v_i и w_i — однородные координаты прямых — будут уравнениями сторон угла. Координаты полюсов (x₁, y₁) и (x₂, y₂) этих прямых выражаются через однородные координаты сторон следующим образом: $x_i=\begin{matrix} -\frac{u_1}{w_1} \end{matrix} ,\ y_i=\begin{matrix} -\frac{v_i}{w_i} \end{matrix},\ i=1,2$. Подставляя эти значения в формулу (***) находим:

$\cos \alpha=\frac {u_1 u_2 + v_1 v_2 - w_1 w_2}{\sqrt{u^2_1+v^2_1 -w^2_1}\cdot \sqrt{u^2_2+v^2_2-w^2_2}}$

Когда вершина угла находится в начале координат, то полюсы сторон угла — бесконечно удалённые точки, то есть w₁=0 и w₂=0, и мы получаем формулу: $\cos \alpha=\frac {u_1 u_2 + v_1 v_2}{\sqrt{u^2_1+v^2_1}\cdot \sqrt{u^2_2+v^2_2}}$, совпадающую с формулой для евклидового угла между этими прямыми. Значит, гиперболическая мера л-угла, находящегося в центре окружности-абсолюта будет совпадать с евклидовой мерой угла с теми же сторонами.

Угол параллельности

Рис. 9

Пусть M — произвольная точка на оси абсцисс внутри абсолюта. Обозначим евклидово расстояние OM (рис. 9) через $a$, через $x$ — длину того же отрезка в Л₂. Проведём через точку M перпендикуляр к оси абсцисс (он будет перпендикулярен как в E₂, так и в Л₂), который пересечёт абсолют в точках K и L (рис. 9). Очевидно, что угол MOK, одинаково выражаемый как в E₂, так и в Л₂, есть угол параллельности π(x). По формуле (*) $x=c \ln \frac {1+a}{1-a}$;

$e^{\frac {x}{c}}=\frac {1+a}{1-a} ;\quad a=\frac {e^{\frac {x}{c}}-1}{e^{\frac {x}{c}}+1}=\frac {e^{\frac {x}{2c}}-e^{-\frac {x}{2c}}}{e^{\frac {x}{2c}}+e^{-\frac {x}{2c}}}=\operatorname {th} \frac {x}{2c}$.

С другой, стороны, $a=\cos (\angle MOK)$; предыдущее равенство даёт поэтому $\cos (\angle MOK)=\cos \pi (x)=\operatorname {th} \frac {x}{2c} ;\quad \operatorname {tg} \frac{1}{2} \pi (x)=e^{-\frac {x}{2c}}$.

Сделав замену 2c=k и совершив элементарные преобразования последнего равенства, получаем основную формулу геометрии Лобачевского: $\pi (x)= 2 \operatorname {arctg} e^{-\frac {x}{k}}$.

Эквидистанта

Рис.10: овальная линия G₁ служит интерпретацией эквидистанты прямой p в модели Кэли — Клейна

Пусть G₁ — овальная линия второго порядка, расположенная в внутренней области абсолюта G и касающаяся абсолюта в точках его пересечения с прямой p (рис.10). Тогда при гиперболическом зеркальном отражении относительно любой прямой, проходящей через точку P, являющуюся полюсом прямой p относительно абсолюта, линия G₁ отобразится на себя. Следовательно, все хорды линии G₁, направленные в точку P, являются гиперболическими конгруэнтными отрезками; кроме того, прямая p перпендикулярна к этим хордам и делит их пополам. Поэтому линия G₁ с точки зрения гиперболической геометрии представляет собой эквидистанту с осью p.