Начальные и граничные условия

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Начальные и граничные условия (что в теории дифференциальных уравнений — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

Терминология[править]

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные.

Главные условия обычно имеют вид \(u(\partial \Omega) = g\), где \(\partial \Omega\) — граница области \(\Omega\).

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример[править]

Уравнение \(\frac{d^2 y}{dt^2}=-g\) описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида \(y(t)=-gt^2/2+at+b\), где \(a, b\) — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.

Корректность постановки граничных условий[править]

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

  1. Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
  2. Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
  3. Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т.д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: \(Lu=F_1,~Lu=F_2\) с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:
$$\forall \delta>0~\exist\varepsilon>0:~\|F_1-F_2\|$$решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности. Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара.

См. также[править]

Литература[править]

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X>

  • А.М. Ахтямов Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М. : Физматлит, 2009.
  • А.М. Ахтямов, В.А. Садовничий, Султанаев Я.Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. - М.: Изд-во Московского университета, 2009.