Дифференциальное уравнение

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Математика

Дифференциа́льное уравне́ниеуравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, \(\ f'(x)=f(f(x))\) не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные \(y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x)\) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править]

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида $$F\left(t,x,x^\prime,x^{\prime\prime},...,x^{(n)}\right)=0\!$$или \(F\left(t,x,\frac{dx}{dt},\frac{d^{2}x}{dt^2},...,\frac{d^{n}x}{dt^n}\right)=0\), где \(~x=x(t)\) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени \(~t\), штрих означает дифференцирование по \(~t\). Число \(~n\) называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных[править]

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: $$F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,$$ где \(x_1, x_2,\dots, x_m\) — независимые переменные, а \(z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m)\) — функция этих переменных.

Примеры[править]

\(y^{\prime\prime}+9y=0\) — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций \(y = (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))\), где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения \(m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)\), где \(m\) — масса тела, \(x\) — его координата, \(F(x,t)\) — сила, действующее на тело с координатой \(x\) в момент времени \(t\). Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением \(\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\), где \(u=u(x,t)\) — отклонение струны в точке с координатой \(x\) в момент времени \(t\), параметр \(a\) задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

См. также[править]

Ссылки[править]

Литература[править]

Учебники[править]

  • В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
  • Л.С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974
  • Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
  • А. Н. Тихонов, Васильева А.Б., А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005* А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.