Нечёткое множество

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск


Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале \([0, 1]\), а не только значения \(0\) или \(1\).

Определение[править]

Под нечётким множеством \(A \ \) понимается совокупность

\(A = \{(x, \mu_A(x))| x \in X\}\),

где \(X \ \) — универсальное множество, а \(\mu_A(x) \ \) — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента \(x \ \) нечёткому множеству \(A \ \).

Функция \(\mu_A(x) \ \) принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве \(M \ \). Множество \(M \ \) называют множеством принадлежностей, часто в качестве \(M \ \) выбирается отрезок \([0, 1] \ \). Если \(M = \{0, 1\} \ \), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения[править]

Пусть \(A \ \) нечёткое множество с элементами из универсального множества \(X \ \) и множеством принадлежностей \(M = [0, 1] \ \). Тогда

  • Носителем (суппортом) нечёткого множества \(supp A \ \) называется множество \(\{x|x \in X, \mu_A(x) > 0 \}\).
  • Величина
    \(\sup_{x \in X} \mu_A(x) = \max_{x \in X}\mu_A(x),\)
    называется высотой нечёткого множества \(A \ \). Нечёткое множество \(A \ \) нормально, если его высота равна \(1 \ \). Если высота строго меньше \(1 \ \), нечёткое множество называется субнормальным.
  • Нечёткое множество пусто, если \(\forall x \in X \ \mu_A(x) = 0\). Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
\(\mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}\)
.
  • Нечёткое множество унимодально, если \(\mu_A(x) = 1 \ \) только на одном \(x \ \) из \(X \ \).
  • Элементы \(x \in X\), для которых \(\mu_A(x) = 0,5 \ \), называются точками перехода нечёткого множества \(A \ \).

Сравнение нечётких множеств[править]

Пусть \(A\) и \(B\) нечёткие множества, заданные на универсальном множестве \(X\).

  • \(A\) содержится в \(B\), если для любого элемента из \(X\) функция его принадлежности множеству \(A\) будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству \(B\):
\(A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!.\)
  • В случае, если условие \(\mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!\) выполняется не для всех \(x \in X \), говорят о степени включения нечёткого множества \(A\) в \(B\), которое определяется так:
\(l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)\!,\)

где

\(T = \{x \in X;\mu_A(x) \leq \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}\!.\)
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
\(A = B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) = \mu_B(x)\!.\)
  • В случае, если значения функций принадлежности \(\mu_A(x)\!\) и \(\mu_B(x)\!\) почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств \(A\) и \(B\), например, в виде
\(E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|\!,\)

где

\(T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}\!.\)

Свойства нечётких множеств[править]

  • α-разрезом нечёткого множества \(A\subseteq X\!\), обозначаемым как \(A_\alpha\!\), называется следующее чёткое множество:
\(A_\alpha= \{x \in X; \mu_A(x)\geq \alpha\}\!,\)

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

\(\chi_{A_\alpha}(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) \geq \alpha, \\ 1, &\mu_A(x) < \alpha. \end{matrix}\right.\!\)

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

\(\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \subset A_{\alpha_2}\!.\)
  • Нечёткое множество \(A \subseteq \mathbf{R}\!\) является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие
\(\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geq \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,\)

для любых \(x_1,x_2 \in \mathbf{R}\!\) и \(\gamma \in [0,1]\!\).

  • Нечёткое множество \(A \subseteq \mathbf{R}\!\) является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие
\(\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leq \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,\)

для любых \(x_1,x_2 \in \mathbf{R}\!\) и \(\gamma \in [0,1]\!\).

Операции над нечёткими множествами[править]

При \(M = [0, 1] \ \)

  • Пересечением нечётких множеств \(A\) и \(B\) называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в \(A\) и \(B\):
\(\mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.\)
  • Произведением нечётких множеств \(A\) и \(B\) называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
\(\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)\!.\)
  • Объединением нечётких множеств \(A\) и \(B\) называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно \(A\) и \(B\):
\(\mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.\)
  • Суммой нечётких множеств \(A\) и \(B\) называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
\(\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)\!.\)
  • Отрицанием множества \(A \ \) при \(M = [0, 1] \ \) называется множество \(\overline A\) с функцией принадлежности:
\(\mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)\!,\)

для каждого \(x \in X\!\).

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами[править]

Пересечение[править]

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

\(\mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,\)

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

  • \(\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.\)
  • \(\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)\!.\)
  • \(\mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}\!.\)
  • \(\mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1 \\ 0, & \mu_A(x)\) \(\mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}\!\), для \(p \geq 1\!\). Объединение[править] В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом \(\mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,\) где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы: \(\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.\) \(\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x)\!.\) \(\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}\!.\) \(\mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0 \\ 1, & \mu_A(x)0, \end{matrix}\right.\!.\)
  • \(\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}\!\), для \(p \geq 1\!\).

Связь с теорией вероятностей[править]

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Последовательность теорем, описывающих это сведение, дана в монографиях [2, 3, 4]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности \(\mu_A(x) \ \) можно рассматривать как вероятность накрытия элемента \(x \ \) некоторым случайным множеством \(B \ \).

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Примеры[править]

Литература[править]

  • Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
  • Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.
  • Батыршин И. З., Недосекин А. О., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечетких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0
  • Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. — 224 c. ISBN 5-94052-027-8
  • Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
  • Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р. Р. Ягера. — М.: Радио и связь, 1986.
  • Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с. ISBN 5-93517-103-1

Ссылки[править]

См. также[править]