Нечёткое множество

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску


Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [ 0 , 1 ] [0, 1] , а не только значения 0 0 или 1 1 .

Определение[править | править код]

Под нечётким множеством A   A \ понимается совокупность

A = { ( x , μ A ( x ) ) | x ∈ X } A = \{(x, \mu_A(x))| x \in X\} ,

где X   X \  — универсальное множество, а μ A ( x )   \mu_A(x) \  — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента x   x \ нечёткому множеству A   A \ .

Функция μ A ( x )   \mu_A(x) \ принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве M   M \ . Множество M   M \ называют множеством принадлежностей, часто в качестве M   M \ выбирается отрезок [ 0 , 1 ]   [0, 1] \ . Если M = { 0 , 1 }   M = \{0, 1\} \ , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения[править | править код]

Пусть A   A \ нечёткое множество с элементами из универсального множества X   X \ и множеством принадлежностей M = [ 0 , 1 ]   M = [0, 1] \ . Тогда

  • Носителем (суппортом) нечёткого множества s u p p A   supp A \ называется множество { x | x ∈ X , μ A ( x ) > 0 } \{x|x \in X, \mu_A(x) > 0 \} .
  • Величина
    sup x ∈ X μ A ( x ) = max x ∈ X μ A ( x ) , \sup_{x \in X} \mu_A(x) = \max_{x \in X}\mu_A(x),
    называется высотой нечёткого множества A   A \ . Нечёткое множество A   A \ нормально, если его высота равна 1   1 \ . Если высота строго меньше 1   1 \ , нечёткое множество называется субнормальным.
  • Нечёткое множество пусто, если ∀ x ∈ X   μ A ( x ) = 0 \forall x \in X \ \mu_A(x) = 0 . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
μ A ′ ( x ) = μ A ( x ) sup μ A ( x ) \mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}
.
  • Нечёткое множество унимодально, если μ A ( x ) = 1   \mu_A(x) = 1 \ только на одном x   x \ из X   X \ .
  • Элементы x ∈ X x \in X , для которых μ A ( x ) = 0 , 5   \mu_A(x) = 0,5 \ , называются точками перехода нечёткого множества A   A \ .

Сравнение нечётких множеств[править | править код]

Пусть A A и B B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X X .

  • A A содержится в B B , если для любого элемента из X X функция его принадлежности множеству A A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B B :
A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ X   μ A ( x ) ⩽ μ B ( x ) . A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!.
  • В случае, если условие μ A ( x ) ⩽ μ B ( x ) \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\! выполняется не для всех x ∈ X x \in X , говорят о степени включения нечёткого множества A A в B B , которое определяется так:
l ( A ⊂ B ) = min x ∈ T μ B ( x ) , l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)\!,

где

T = { x ∈ X ; μ A ( x ) ⩽ μ B ( x ) , μ A ( x ) > 0 } . T = \{x \in X;\mu_A(x) \leq \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}\!.
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
A = B ⇔ ∀ x ∈ X   μ A ( x ) = μ B ( x ) . A = B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) = \mu_B(x)\!.
  • В случае, если значения функций принадлежности μ A ( x ) \mu_A(x)\! и μ B ( x ) \mu_B(x)\! почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A A и B B , например, в виде
E ( A = B ) = 1 − max x ∈ T | μ A ( x ) − μ B ( x ) | , E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|\!,

где

T = { x ∈ X ; μ A ( x ) ≠ μ B ( x ) } . T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}\!.

Свойства нечётких множеств[править | править код]

  • α-разрезом нечёткого множества A ⊆ X A\subseteq X\! , обозначаемым как A α A_\alpha\! , называется следующее чёткое множество:
A α = { x ∈ X ; μ A ( x ) ⩾ α } , A_\alpha= \{x \in X; \mu_A(x)\geq \alpha\}\!,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

χ A α ( x ) = { 0 , μ A ( x ) ⩾ α , 1 , μ A ( x ) < α . \chi_{A_\alpha}(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) \geq \alpha, \\ 1, &\mu_A(x) < \alpha. \end{matrix}\right.\!

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

α 1 < α 2 ⇒ A α 1 ⊂ A α 2 . \alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \subset A_{\alpha_2}\!.
  • Нечёткое множество A ⊆ R A \subseteq \mathbf{R}\! является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие
μ A [ γ x 1 + ( 1 − γ ) x 2 ] ⩾ ⟨ μ A ( x 1 ) ∧ μ A ( x 2 ) = min { μ A ( x 1 ) , μ A ( x 2 ) } ⟩ , \mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geq \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,

для любых x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2 \in \mathbf{R}\! и γ ∈ [ 0 , 1 ] \gamma \in [0,1]\! .

  • Нечёткое множество A ⊆ R A \subseteq \mathbf{R}\! является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие
μ A [ γ x 1 + ( 1 − γ ) x 2 ] ⩽ ⟨ μ A ( x 1 ) ∨ μ A ( x 2 ) = max { μ A ( x 1 ) , μ A ( x 2 ) } ⟩ , \mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leq \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,

для любых x 1 , x 2 ∈ R x_1,x_2 \in \mathbf{R}\! и γ ∈ [ 0 , 1 ] \gamma \in [0,1]\! .

Операции над нечёткими множествами[править | править код]

При M = [ 0 , 1 ]   M = [0, 1] \

  • Пересечением нечётких множеств A A и B B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A A и B B :
μ A ∩ B ( x ) = min ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) . \mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • Произведением нечётких множеств A A и B B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
μ A B ( x ) = μ A ( x ) μ B ( x ) . \mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)\!.
  • Объединением нечётких множеств A A и B B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно A A и B B :
μ A ∪ B ( x ) = max ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) . \mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • Суммой нечётких множеств A A и B B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
μ A B ( x ) = μ A ( x ) + μ B ( x )   − μ A ( x ) μ B ( x ) . \mu_{AB}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)\!.
  • Отрицанием множества A   A \ при M = [ 0 , 1 ]   M = [0, 1] \ называется множество A ― \overline A с функцией принадлежности:
μ A ― ( x ) = 1 − μ A ( x ) , \mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)\!,

для каждого x ∈ X x \in X\! .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами[править | править код]

Пересечение[править | править код]

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

μ A ∩ B ( x ) = T ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) , \mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

  • μ A ∩ B ( x ) = μ A ( x ) ∧ μ B ( x ) = min ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) . \mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • μ A ∩ B ( x ) = μ A ( x ) μ B ( x ) . \mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)\!.
  • μ A ∩ B ( x ) = max { 0 , μ A ( x ) + μ B ( x ) − 1 } . \mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}\!.
  • Missing \end{matrix} \mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1 \\ 0, & \mu_A(x)
  • μ A ∩ B ( x ) = 1 − min { 1 , [ ( 1 − μ A ( x ) ) p + ( 1 − μ B ( x ) ) p ] 1 p } \mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}\! , для p ⩾ 1 p \geq 1\! .

Объединение[править | править код]

В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом

μ A ∪ B ( x ) = S ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) , \mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,

где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

  • μ A ∪ B ( x ) = μ A ( x ) ∨ μ B ( x ) = max ( μ A ( x ) , μ B ( x ) ) . \mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.
  • μ A ∪ B ( x ) = μ A ( x ) + μ B ( x ) − μ A ( x ) μ B ( x ) . \mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x)\!.
  • μ A ∪ B ( x ) = min { 1 , μ A ( x ) + μ B ( x ) } . \mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}\!.
  • μ A ∪ B ( x ) = { μ A ( x ) , μ B ( x ) = 0 μ B ( x ) , μ A ( x ) = 0 1 , μ A ( x ) 0 , . \mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0 \\ 1, & \mu_A(x)0, \end{matrix}\right.\!.
  • μ A ∪ B ( x ) = min { 1 , [ μ A p ( x ) + μ B p ( x ) ] 1 p } \mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}\! , для p ⩾ 1 p \geq 1\! .

Связь с теорией вероятностей[править | править код]

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Последовательность теорем, описывающих это сведение, дана в монографиях [2, 3, 4]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности μ A ( x )   \mu_A(x) \ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента x   x \ некоторым случайным множеством B   B \ .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Примеры[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
  • Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.
  • Батыршин И. З., Недосекин А. О., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А. В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечетких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0
  • Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. — 224 c. ISBN 5-94052-027-8
  • Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
  • Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р. Р. Ягера. — М.: Радио и связь, 1986.
  • Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с. ISBN 5-93517-103-1

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Нечёткое_множество&oldid=452898