Обобщённые ланчестерские модели

Обобщанные ланчестерские модели — модели популяционной динамики, обобщающие как ланчестерские модели боя, так и уравнения Лотки-Вольтерры и описывающие динамику нескольких популяций, воздействующих на численность друг друга.

Структура модели

Модели описывают динамику численности $n$ популяций, находящихся между собой в четырёх видах взаимодействий, воздействующих на численность популяций:

1. с воздействием, пропорциональным численности обеих взаимодействующих сторон,
2. с воздействием, пропорциональным численности только его активной стороны,
3. с воздействием, пропорциональным численности только пассивной стороны, другими словами, не взаимодействие, а относительный естественный прирост или убыль,
4. с воздействием, не зависящим от численности обеих сторон, другими словами, не взаимодействие, а абсолютный естественный прирост или убыль.

Слагаемые, образующие правую часть формул ниже, описывают одно из четырёх взаимодействий и делятся на:

• зависящие от численности пассивной стороны взаимодействия и не зависящие,
• зависящие от численности активной стороны взаимодействия и не зависящие.

Зависимость от пассивной стороны	Зависимость от активной стороны
	нет	да
нет	Абсолютный естественный прирост/убыль: $\mathbf{d}$	Взаимодействие, не зависящее от численности пассивной стороны: $C \mathbf{x}$
да	Относительный естественный прирост/убыль: $\mathbf{a} \odot \mathbf{x}$	Взаимодействие, зависящее от численности обеих сторон: $B \mathbf{x} \odot \mathbf{x}$

Скалярная форма

В скалярной форме динамика популяций описывается уравнением: $$\begin{equation}\displaylines{ \label{scalar}\dv{ x_i }{t} =\overbrace{\rlap{ \overbrace{ \phantom{ a_i x_i + \mathbf{b_i} \mathbf{x} x_i } } ^ { \text{ своей } } } a_i x_i+ \underbrace{ \mathbf{b_i} \mathbf{x} x_i + \mathbf{c_i} \mathbf{x} }_{ \text{ чужих } } +d_i}^{ \text{ зависит от размера популяций } } = \\ =a_i x_i + \left( \sum\limits_{j = 1}^n b_{ij} x_j \right) x_i + \sum\limits_{j = 1}^n c_{ij} x_j + d_i ,}\end{equation}$$ где:

• $x_i$ — численность популяции $i$ в момент $t$,
• $a_i$ — относительный прирост или убыль популяции $i$, пропорциональная текущей численности,
• $b_{ij}$ — воздействие стороны $j$ на сторону $i$, зависящее от численности обеих сторон. $b_{ii} = 0$, если дружественного огня по площадям нет,
• $c_{ij}$ — воздействие стороны $j$ на сторону $i$, не зависящее от численности пассивной стороны. $c_{ii} = 0$, если дружественного прицельного огня нет,
• $d_i$ — абсолютный прирост или убыль популяции $i$, не зависящие от её текущей численности.

Векторно-матричная форма

В матрично-векторной форме запись будет следующей:

$$\begin{equation}\displaylines{\label{vector}\dv{ \mathbf{x} }{t} =\overbrace{\rlap{ \overbrace{ \phantom{ \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} } } ^ { \text{ своей } } } \mathbf{a} \odot \mathbf{x}+ \underbrace{ B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} }_{ \text{ чужих } } +\mathbf{d}}^{ \text{ зависит от размера популяций } } = \\ =\begin{pmatrix} \left( \mathbf{a} + B \mathbf{x} \right)_1 x_1 \\ \left( \mathbf{a} + B \mathbf{x} \right)_2 x_2 \\ \vdots \\ \left( \mathbf{a} + B \mathbf{x} \right)_i x_i \\ \vdots \\ \left( \mathbf{a} + B \mathbf{x} \right)_n x_n \end{pmatrix} +C \mathbf{x} + \mathbf{d} =\overrightarrow{ \left( \left( \mathbf{a} + B \mathbf{x} \right)_i x_i \right) } + C \mathbf{x} + \mathbf{d} =\left( \diag \left ( \mathbf{a} \right) + \diag \left( B \mathbf{x} \right) + C \right) \mathbf{x} + \mathbf{d} ,}\end{equation}$$ где:

• $\odot$ — покомпонентное произведение векторов,
• $\diag \left(\mathbf{v} \right)$ — диагональная матрица, соответствующая вектору $\mathbf{v}$,
• $\mathbf{x}$ — вектор численностей популяций,
• $\mathbf{a}$ — вектор относительного естественного прироста или убыли популяций,
• $B$ — матрица взаимодействий популяций, интенсивность которых зависит от численности обеих сторон; строка означает пассивную сторону, столбец — активную,
• $C$ — матрица взаимодействий популяций, интенсивность которых зависит от численности только активной стороны; строка означает пассивную сторону, столбец — активную,
• $\mathbf{d}$ — вектор абсолютного прироста или убыли популяций, не зависящих от текущей численности.

Классификация

Частные случаи обобщённых ланчестерских моделей различаются равенством нулю матриц или векторов коэффициентов при слагаемых модели, и знаком компонент, не равных нулю:

Коэффициенты				Уравнения	Название	Особенности	Применение
$a_i$	$b_{ij}$	$c_{ij}$	$d_i$
				$\dv{ \mathbf{x} }{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d}$	Общий случай
< 0	< 0	< 0	> 0	$\dv{ \mathbf{x} }{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d}$	Ланчестерские модели (дальнейшая классификация в статье)	Стороны несут потери небоевые и боевые, зависящие от встречи противников, и нет, и получают подкрепления	Бой с огнём прицельным и по площадям, с небоевыми потерями и подкреплениями
?	?	= 0	= 0	$\dv{ \mathbf{x} }{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x}$	Обобщённые уравнения Лотки-Вольтерры (дальнейшая классификация в статье)	Взаимодействуют продуценты и консументы, с относительной естественным приростом или убылью, питающиеся друг другом или иначе взаимодействующие	Модель биоценоза

Дальнейшие обобщения

Фиктивная популяция

Взаимодействия, не зависящие от численности популяции, — абсолютный или относительный прирост или убыль — можно описать, введя фиктивную популяцию $x_0 \neq 0$. Её численность можно задать произвольно, установив затем $b_{i0} = \frac{a_i}{x_0}$, $c_{i0} = \frac{d_i}{x_0}$ и $b_{0i} = с_{0i} = 0$.

Тогда уравнение $\eqref{scalar}$ примет вид: $$\begin{equation*}\dv{ x_i }{t} = \left( \sum\limits_{j = 0}^n b_{ij} x_j \right) x_i + \sum\limits_{j = 0}^n c_{ij} x_j =\mathbf{x} \left( \mathbf{b_i} x_i + \mathbf{c_i} \right) ,\end{equation*}$$

а $\eqref{vector}$ — $$\begin{equation*}\dv{ \mathbf{x} }{t} =B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} =\left( \diag \left( B \mathbf{x} \right) + C \right) \mathbf{x} ,\end{equation*}$$ где $\mathbf{x}$ — вектор популяций, а $B$ и $C$ — матрицы взаимодействий, дополненные нулевыми столбцами и строками, как описано выше.

Эти уравнения неразрешимы в элементарных функциях.

Интерес могут представлять равновесные состояния, когда $\dv{ \mathbf{x} }{ t } = B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} = 0$.

В простейшем случае двух популяций (и одной фиктивной), решение относительно $x_1$ имеют вид:

$$\left[ \begin{align*} x_1 & = {{\sqrt{b_{12}^2\,d_2^2 + \left( - 2\,b_{12}\,b_{21}\,d_1 - 2\,b_{12}\,c_{12}\,c_{21} + 4\,a_1\,b_{21}\,c_{12} - 2\,a_1\,a_2\,b_{12}\right)\,d_2 + b_{21}^2\,d_1^2 + \left(\left(4\,a_2\,b_{12} - 2\,b_{21}\,c_{12}\right)\,c_{21} - 2\,a_1\,a_2\,b_{21}\right)\,d_1 + c_{12}^2\,c_{21}^2 - 2\,a_1\,a_2\,c_{12}\,c_{21} + a_1^2\,a_2^2} - b_{12}\,d_2 + b_{21}\,d_1 - c_{12}\,c_{21} + a_1\,a_2}\over{2\,b_{12}\,c_{21} - 2\,a_1\,b_{21}}} , \\ x_1 & = - {{\sqrt{b_{12}^2\,d_2^2 + \left( - 2\,b_{12}\,b_{21}\,d_1 - 2\,b_{12}\,c_{12}\,c_{21} + 4\,a_1\,b_{21}\,c_{12} - 2\,a_1\,a_2\,b_{12}\right)\,d_2 + b_{21}^2\,d_1^2 + \left(\left(4\,a_2\,b_{12} - 2\,b_{21}\,c_{12}\right)\,c_{21} - 2\,a_1\,a_2\,b_{21}\right)\,d_1 + c_{12}^2\,c_{21}^2 - 2\,a_1\,a_2\,c_{12}\,c_{21} + a_1^2\,a_2^2} + b_{12}\,d_2 - b_{21}\,d_1 + c_{12}\,c_{21} - a_1\,a_2}\over{2\,b_{12}\,c_{21} - 2\,a_1\,b_{21}}}\end{align*} \right.$$

В случае трёх популяций (и одной фиктивной), решение относительно $x_1$ имеет вид: $$\left[ \begin{align*} x_1 & = - \frac{ c_{13} }{ b_{13} } \\ x_1 & = - \frac{ c_{12} }{ b_{12} } \\ p \left( x_1 \right) & = 0\end{align*} \right.$$ где $p \left( x_1 \right)$ — многочлен пятой степени от $x_1$ с коэффициентами, образованными $a_i$, $b_{ij}$, $c_{ij}$ и $d_i$. Это гарантирует существование, по меньшей мере трёх решений, точнее, поскольку у уравнения пятой степени может быть одно, три или пять вещественных решений, существует три, пять или семь положений равновесия.

При $\mathbf{d} = \mathbf {0}$, т.е., в отсутствие подкреплений, уравнения превращаются в однородными, и одним из их решений становится тривиальное $\mathbf{x} = \mathbf {0}$, т.е., полное вымирание. Другие решения задаются уравнением степени $2^n - 2$, где $n$ — число популяций без фиктивной. Для двух популяций, решение, помимо тривиального, будет: $$\begin{cases}x_1 = - \frac{ c_{12} c_{21} - a_1 a_2 }{ b_{12} c_{21} - a_1 b_{21} } \\x_2 = - \frac{ c_{12} c_{21} - a_1 a_2 }{ b_{21} c_{12} - a_2 b_{12} }\end{cases}$$

Альтернативой приписывания относительного естественного прироста/убыли воздействию фиктивной популяции может быть его диагонализация в матрице взаимодействий, не зависящих от встреч: $c_{ii} = a_i$.

Ссылки

• Английский перевод статьи «Влияние численности сражающихся сторон на их потери» М. Осипова.
• С.И. Макаренко, И.Е. Афонин, О.А. Копичев, А.С. Мамончикова «Обобщённая модель Ланчестера, формализующая конфликт нескольких сторон» // ResearchGate. — январь 2021.