Обобщённые ланчестерские модели

Обобщанные ланчестерские модели — модели популяционной динамики, обобщающие как ланчестерские модели боя, так и уравнения Лотки-Вольтерры и описывающие динамику несколькох популяций, воздействующих на численность друг друга.

Структура модели

Модели описывают динамику численности $n$ популяций, находящихся между собой в четырёх видах взаимодействий, воздействующих на численность популяций:

1. с воздействием, пропорциональным численности обеих взаимодействующих сторон,
2. с воздействием, пропорциональным численности только его активной стороны,
3. с воздействием, пропорциональным численности только пассивной стороны, другими словами, не взаимодействие, а относительный естественный прирост или убыль,
4. с воздействием, не зависящим от численности обеих сторон, другими словами, не взаимодействие, а абсолютный естественный прирост или убыль.

Слагаемые, образующие правую часть формул ниже, описывают одно из четырёх взаимодействий и делятся на:

• зависящие от численности пассивной стороны взаимодействия и не зависящие,
• зависящие от численности активной стороны взаимодействия и не зависящие.

Зависимость от пассивной стороны	Зависимость от активной стороны
	нет	да
нет	Абсолютный естественный прирост/убыль: $\mathbf{d}$	Взаимодействие, не зависящее от численности пассивной стороны: $C \mathbf{x}$
да	Относительный естественный прирост/убыль: $\mathbf{a} \odot \mathbf{x}$	Взаимодействие, зависящее от численности обеих сторон: $B \mathbf{x} \odot \mathbf{x}$

Скалярная форма

В скалярной форме динамика популяций описывается уравнением: $$\begin{equation} \label{scalar} \frac{dx_i}{dt} = a_i x_i + \left( \sum\limits_{j = 1}^n b_{ij} x_j \right) x_i + \sum\limits_{j = 1}^n c_{ij} x_j + d_i = a_i x_i + \mathbf{b_i} \mathbf{x} x_i + \mathbf{c_i} \mathbf{x} + d_i , \end{equation}$$ где:

• $x_i$ — численность популяции $i$ в момент $t$,
• $a_i$ — относительный прирост или убыль популяции $i$, пропорциональная текущей численности,
• $b_{ij}$ — воздействие стороны $j$ на сторону $i$, зависящее от численности обеих сторон,
• $c_{ij}$ — воздействие стороны $j$ на сторону $i$, не зависящее от численности пассивной стороны,
• $d_i$ — абсолютный прирост или убыль популяции $i$, не зависящие от её текущей численности.

Векторно-матричная форма

В матрично-векторной форме запись будет следующей: $$\begin{equation} \label{vector} \frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d} = \left( \diag \left ( \mathbf{a} \right) + \diag \left( B \mathbf{x} \right) + C \right) \mathbf{x} + \mathbf{d} , \end{equation}$$ где:

• $\odot$ — покомпонентное произведение векторов,
• $\diag \left(\mathbf{v} \right)$ — диагональная матрица, соответствующая вектору $\mathbf{v}$,
• $\mathbf{x}$ — вектор численностей популяций,
• $\mathbf{a}$ — вектор относительного естественного прироста или убыли популяций,
• $B$ — матрица взаимодействий популяций, интенсивность которых зависит от численности обеих сторон; строка означает пассивную сторону, столбец — активную,
• $C$ — матрица взаимодействий популяций, интенсивность которых зависит от численности только активной стороны; строка означает пассивную сторону, столбец — активную,
• $\mathbf{d}$ — вектор абсолютного прироста или убыли популяций, не зависящих от текущей численности.

Классификация

Частные случаи обобщённых ланчестерских моделей различаются равенством нулю матриц или векторов коэффициентов при слагаемых модели, и знаком компонент, не равных нулю:

Коэффициенты				Уравнения	Название	Особенности	Применение
$a_i$	$b_{ij}$	$c_{ij}$	$d_i$
				$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d}$	Общий случай
< 0	< 0	< 0	> 0	$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d}$	Ланчестерские модели	Стороны несут потери небоевые и боевые, зависящие от встречи противников, и нет, и получают подкрепления	Бой с огнём прицельным и по площадям, с небоевыми потерями и подкреплениями
?	?	= 0	= 0	$\frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x}$	Обобщённые уравнения Лотки-Вольтерры	Взаимодействуют продуценты и консументы, с относительной естественным приростом или убылью, питающиеся друг другом или иначе взаимодействующие	Модель биоценоза

Дальнейшие обобщения

Фиктивная популяция

Взаимодействия, не зависящие от численности популяции, — абсолютный или относительный прирост или убыль — можно описать, введя фиктивную популяцию $x_0 \neq 0$. Её численность можно задать произвольно, установив затем $b_{i0} = \frac{a_i}{x_0}$, $c_{i0} = \frac{d_i}{x_0}$ и $b_{0i} = с_{0i} = 0$.

Тогда уравнение $\eqref{scalar}$ примет вид: $$\begin{equation*} \frac{dx_i}{dt} = \left( \sum\limits_{j = 0}^n b_{ij} x_j \right) x_i + \sum\limits_{j = 0}^n c_{ij} x_j = \mathbf{b_i} \mathbf{x} x_i + \mathbf{c_i} \mathbf{x} , \end{equation*}$$

а $\eqref{vector}$ — $$\begin{equation*} \frac{d \mathbf{x}}{dt} = B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} = \left( \diag \left( B \mathbf{x} \right) + C \right) \mathbf{x} , \end{equation*}$$ где $\mathbf{x}$ — вектор популяций, а $B$ и $C$ — матрицы взаимодействий, дополненные нулевыми столбцами и строками, как описано выше.

Альтернативой приписывания относительного естественного прироста/убыли воздействию фиктивной популяции может быть его диагонализация в матрице взаимодействий, не зависящих от встреч: $c_{ii} = a_i$.

Ссылки

• С.И. Макаренко, И.Е. Афонин, О.А. Копичев, А.С. Мамончикова «Обобщённая модель Ланчестера, формализующая конфликт нескольких сторон» // ResearchGate. — январь 2021.