Основы функционального программирования/Вводная лекция

Лекции по функциональному программированию

1. Вводная лекция 2. Структуры данных и базисные операции 3. Структуры данных и базисные операции — 2 4. Основы языка Haskell 5. Служебные слова и синтаксис Haskell'а 6. Модули и монады в Haskell'е 7. Операции ввода/вывода в Haskell'е 8. Конструирование функций 9. Доказательство свойств функций 10. Формализация ФП на основе λ-исчисления 11. Трансформация программ

Общие слова́

Функциональное программирование ставит своей целью придать каждой программе простое математическое толкование. Это толкование должно быть независимо от деталей исполнения и понятно людям, не имеющим научной степени в предметной области.

Лоренс Паулсон.

Перед началом описания непосредственно функционального программирования следует обратиться к истории программирования вообще. В 1940-х годах появились первые цифровые компьютеры, которые программировались переключением различного рода тумблеров, проводков и кнопок. Число таких переключений достигало порядка нескольких сотен и росло с усложнением программ. Потому следующим шагом развития программирования стало создание всевозможных ассемблерных языков с простой мнемоникой.

Но даже ассемблеры не могли стать тем инструментом, которым смогли бы пользоваться многие люди, поскольку мнемокоды всё ещё оставались слишком сложными, а всякий ассемблер был жёстко связан с архитектурой, на которой исполнялся. Шагом после ассемблера стали так называемые императивные языки высокого уровня: Бейсик, Паскаль, Си, Ada и прочие, включая объектно-ориентированные. Императивными («предписывающими») такие языки названы потому, что ориентированы на последовательное исполнение инструкций, работающих с памятью (т. е. присваиваний), и итеративные циклы. Вызовы функций и процедур, даже рекурсивные, не избавляли такие языки от явной императивности.

В парадигме функционального программирования краеугольный камень, — это функция. Вспомнив историю математики, можно оценить возраст понятия «функция»: ему уже́ около четырёхсот лет, и математики придумали очень много теоретических и практических аппаратов для оперирования функциями, начиная от обыкновенных операций дифференцирования и интегрирования, заканчивая заумными функциональными анализами, теориями нечётких множеств и функций комплексных переменных.

Математические функции выражают связь между исходными данными и итоговым продуктом некоторого процесса. Процесс вычисления также имеет вход и выход, поэтому функция — вполне подходящее и адекватное средство описания вычислений. Именно этот простой принцип положен в основу функциональной парадигмы и функционального стиля программирования. Функциональная программа представляет собой набор определений функций. Функции определяются через другие функции или рекурсивно через самих себя. При выполнении программы функции получают параметры, вычисляют и возвращают результат, при необходимости вычисляя значения других функций. На функциональном языке программист не должен описывать порядок вычислений. Нужно просто описать желаемый результат как систему функций.

Функциональное программирование, как и логическое программирование, нашло большое применение в теории искуственного интеллекта и её приложениях. Поэтому здесь функциональное программирование рассматривается скрупулёзно и со всеми возможными подробностями. Далее в этой лекции описывается история функционального программирования, свойства функциональных языков, решаемые задачи и некоторые справочные сведения.

История функционального программирования

Как известно, теоретические основы императивного программирования были заложены ещё в 1930-х годах Аланом Тьюрингом и Джоном фон Нейманом. Теория, положенная в основу функционального подхода, также родилась в 20-х — 30-х годах. В числе разработчиков математических основ функционального программирования можно назвать Мозеса Шёнфинкеля и Хаскелла Карри, разработавших комбинаторную логику, и Алонзо Чёрча, создателя λ-исчисления.

Теория так и оставалась теорией, пока в начале 1950-х годов Джон МакКарти не разработал язык Лисп, который стал первым почти функциональным языком программирования и многие годы оставался единственным таковым. Лисп всё ещё используется (также как и Фортран), после многих лет эволюции он удовлетворяет современным запросам, которые заставляют разработчиков программ взваливать как можно бо́льшую но́шу на компилятор, облегчив так свой труд. Нужда в этом возникла из-за всё более возрастающей сложности программного обеспечения.

В связи с этим обстоятельством всё б́ольшую роль начинает играть типизация. В конце 70-х — начале 80-х годов XX века интенсивно разрабатываются модели типизации, подходящие для функциональных языков. Большинство этих моделей включали в себя поддержку таких мощных механизмов как абстракция данных и полиморфизм. Появляется множество типизированных функциональных языков: ML, Scheme, Hope, Miranda, Clean и многие другие. Вдобавок постоянно увеличивается число диалектов.

В результате вышло так, что практически каждая группа, занимающаяся функциональным программированием, использовала собственный язык. Это препятствовало дальнейшему распространению этих языков и порождало многие более мелкие проблемы. Чтобы исправить положение, объединённая группа ведущих исследователей в области функционального программирования решила воссоздать достоинства различных языков в новом универсальном функциональном языке. Первая реализация этого языка, названного Haskell в честь Хаскелла Карри, была создана в начале 90-х годов. Ныне действителен стандарт Haskell-98.

Большинство функциональных языков программирования реализуются как интерпретируемые, следуя традициям Лиспа (примечание: большая часть современных реализаций Лиспа содержат компиляторы в машинный код). Таковые удобны для быстрой отладки программ, исключая длительную фазу компиляции, укорачивая обычный цикл разработки. С другой стороны, интерпретаторы в сравнении с компиляторами обычно проигрывают по скорости выполнения. Поэтому помимо интерпретаторов существуют и компиляторы, генерирующие неплохой машинный код (например, Objective Caml) или код на Си/Си++ (например, Glasgow Haskell Compiler). Что показательно, практически каждый компилятор с функционального языка реализован на этом же с́амом языке. Это же характерно и для современных реализаций Лиспа, кроме того среда разработки Лиспа позволяет выполнять компиляцию отдельных частей программы без остановки программы (вплоть до добавления методов и изменения определений классов).

В этом курсе для описания примеров функционального программирования будет использован либо некий абстрактный функциональный язык, приближенный к математической нотации, либо Haskell, бесплатные компиляторы которого можно скачать с сайта haskell.org.

Свойства функциональных языков

Как основные свойства функциональных языков кратко рассмотрим следующие:

• краткость и простота;
• строгая типизация;
• модульность;
• функции — это значения;
• чистота (отсутствие побочных эффектов);
• отложенные (ленивые) вычисления.

Краткость и простота

Программы на функциональных языках обычно короче и проще, чем те же самые программы на императивных языках. Сравним программы на Си и на абстрактном функциональном языке на примере сортировки списка быстрым методом Хоара (пример, уже ст́авший классическим при описании преимуществ функциональных языков).

Пример 1. Быстрая сортировка Хоара на Си

void quickSort (int a[], int l, int r)
{
  int i = l;
  int j = r;
  int x = a[(l + r) / 2];
  do
  {
    while (a[i] < x) i++;
    while (x < a[j]) j--;
    if (i < j)
    {
      int temp = a[i];
      a[i++] = a[j];
      a[j--] = temp;
    }
  }
  while (i <= j);
  if (l < j) quickSort (a, l, j);
  if (i < r) quickSort (a, i, r);
}

Пример 2. Быстрая сортировка Хоара на абстрактном функциональном языке

$quickSort ([]) = []$

$quickSort ([x:xs]) = quickSort ([y \mid y \in xs, y \leq x]) + [x] + quickSort ([y \mid y \in xs, y > x])$

Это читается так:

1. Если список пуст, то результатом также будет пустой список.
2. Иначе выделяется голова (первый элемент) и хвост (список из оставшихся элементов, который может быть пустым). В этом случае результатом будет конкатенация (сращивание) отсортированного списка из всех элементов хвост меньших либо равных голове, списка из самой головы и списка из всех элементов хвоста б́ольших головы.

Пример 3. Быстрая сортировка Хоара на языке Haskell

quickSort [] = []
quickSort (x:xs) = quickSort [y | y <- xs, y <= x] ++ [x] ++ quickSort [y | y <- xs, y > x]

Как видно, даже на таком простом примере функциональный стиль программирования выигрывает и по количеству написанного кода, и по его человечности.

Кроме того, все операции с памятью выполняются автоматически. При создании какого-либо объекта под него автоматически выделяется память. Когда объект выполнит своё предназначение, он вскоре будет также автоматически уничтожен сборщиком мусора, который имеется в любом функциональном языке.

Ещё одно средство, позволяющее сократить программу, — встроенный механизм сопоставления с образцом. С ним можно описывать функции как индуктивные определения.

Пример 4. Определение N-ого числа́ Фибоначчи

fibb (0) = 1
fibb (1) = 1
fibb (N) = fibb (N – 2) + fibb (N – 1)

Механизм сопоставления с образцом будет расмотрен в дальнейших лекциях, однако здесь видно, что функциональные языки выходят на более абстрактный уровень, чем традиционые императивные языки (здесь не рассматривается объектно-ориентированная парадигма и её расширения).

Строгая типизация

Из современных языков программирования многие суть строго типизированные. Строгая типизация позволяет компилятору оптимизировать программы, использовать конкретные типы и контейнеры конкретных типов вместо шаблонных, вариантных типов, более громоздких в реализации. Кроме того, строгая типизация позволяет оградиться от части ошибок, связанных с неожидаемым "видом" входных (и выходных) данных, причем это происходит на стадии компиляции, не отнимая на такие проверки время при работе программы. Система типов также способствует "документированию" программы: любая подпрограмма является функцией в математическом смысле слова, отображая одно множество (входное) на другое (выходное), и типы определяют эти множества. Читабельность программ повышается, если используются псевдонимы типов или сложные типы, собранные на основе простых, вместо базовых элементарных целых, строк и т.п.

В примере с быстрой сортировкой Хоара видно, что есть ещё одно важное отличие между вариантом на Си и вариантом на Хаскеле: функция на Си сортирует список значений типа int (целых чисел), а функция на абстрактном функциональном языке — список значений любого типа, принадлежащего к классу упорядоченных величин. Последняя функция может сортировать и список целых чисел, и список чисел с плавающей точкой, и список строк. Можно описать какой-нибудь новый тип. Определив для этого типа операции сравнения, возможно без перекомпиляции использовать функцию quickSort и со списками значений этого нового типа. Это полезное свойство системы типов называется параметрическим или истинным полиморфизмом, и поддерживается большинством функциональных языков.

Ещё одно проявление полиморфизма — перегрузка функций, позволяющая давать разным, но подобным функциям одинаковые имена. Типичный пример перегруженной операции — обычная операция сложения. Функции сложения для целых чисел и чисел с плавающей точкой различны, но для удобства они носят одно имя. Некоторые функциональные языки помимо параметрического полиморфизма поддерживают и перегрузку операций.

В языке Си++ имеется такое понятие, как шаблон, которое позволяет программисту определять полиморфные функции, подобные quickSort. В стандартную библиотеку Си++, — STL, входит такая функция и множество других полиморфных функций. Но шаблоны Си++, как и родовые функции Ады, на самом деле порождают множество перегруженных функций, которые, кстати, нужно каждый раз компилировать, что неблагоприятно сказывается на времени компиляции и размере кода. А в функциональных языках полиморфная функция quickSort — это одна единственная функция.

В некоторых языках, например в Аде, строгая типизация вынуждает программиста явно описывать тип всех значений и функций. Для избежания этого, в строго типизированные функциональные языки встроен механизм, позволяющий компилятору определять типы констант, выражений и функций из контекста, — механизм вывода типов. Известно несколько таких механизмов, однако большинство из них суть разновидности модели типизации Хиндли — Милнера, разработанной в начале 1980-х. Поэтому в большинстве случаев можно не указывать типы функций.

Модульность

Механизм модульности позволяет разделять программы на несколько сравнительно независимых частей (модулей) с чётко определёнными связями между ними. Так облегчается процесс проектирования и последующей поддержки больш́их программных систем. Поддержка модульности не есть свойство именно функциональных языков программирования, но поддерживается большинством таких языков. Существуют очень развитые модульные императивные языки. Примеры: Modula-2 и Ada-95.

Функции суть значения

В функциональных языках, равно как и вообще в языках программирования и математике, функции могут быть переданы другим функциям в качестве аргумента или возвращены в качестве результата. Функции, принимающие функциональные аргументы, называются функциями высших порядков или функционалами. Самый, пожалуй, известный функционал — функция map. Она применяет некоторую функцию ко всем элементам списка, формируя из результатов заданной функции другой список. Например, определив функцию возведения целого числа в квадрат как:

square (N) = N * N

Можно воспользоваться функцией map для возведения в квадрат всех элементов некоторого списка:

squareList = map (square, [1, 2, 3, 4])

Результатом будет список [1, 4, 9, 16].

Чистота

(отсутствие побочных эффектов)

В императивных языках функция в процессе своего выполнения может читать и изменять значения глобальных переменных и осуществлять операции ввода/вывода. Поэтому, если вызвать одну и ту же функцию дважды с одним и тем же аргументом, может случиться так, что в качестве результата вычислятся два различных значения. Такая функция называется функцией с побочными эффектами.

Описывать функции без побочных эффектов позволяет практически любой язык. Однако некоторые языки поощряют или даже требуют от функции побочных эффектов. Например, во многих объектно-ориентированных языках в функцию-член класса передаётся скрытый параметр (чаще он называется this или self), который эта функция неявно изменяет.

В чистом функциональном программировании оператор присваивания отсутствует, объекты нельзя изменять и уничтожать, можно только создавать новые путём разбора и сбора существующих. О ненужных объектах позаботится встроенный в язык сборщик мусора. Благодаря этому в чистых функциональных языках все функции свободны от побочных эффектов. Однако это не мешает этим языкам имитировать некоторые полезные императивные свойства, такие как исключения и изменяемые массивы.

Каковы же преимущества чистых функциональных языков? Помимо упрощения анализа программ есть ещё одно — параллелизм. Раз все функции для вычислений используют только свои параметры, мы можем вычислять независимые функции в произвольном порядке или параллельно, на результат вычислений это не повлияет. Причём параллелизм этот может быть организован не только на уровне компилятора языка, но и на уровне архитектуры. В нескольких научных лабораториях уже разработаны и используются экспериментальные компьютеры, основанные на подобных архитектурах. В качестве примера можно привести Lisp-машину.

Отложенные вычисления

В традиционных языках программирования (например, Си++) вызов функции приводит к вычислению всех аргументов. Этот метод вызова функции называется вызов по значению. Если какой-либо аргумент не использовался в функции, то результат вычислений пропадает, следовательно, вычисления были произведены впустую. В каком-то смысле противоположностью вызова по значению является вызов по необходимости. В этом случае аргумент вычисляется, только если он нужен для вычисления результата. Примером такого поведения можно взять оператор конъюнкции всё из того же Си++ (&&), который не вычисляет значение второго аргумента, если первый аргумент имеет ложное значение.

Если функциональный язык не поддерживает отложенные вычисления, то он называется строгим. На самом деле, в таких языках порядок вычисления строго определён. В качестве примера строгих языков можно привести Scheme, Standard ML и CaML. Языки, использующие отложенные вычисления, называются нестрогими. Haskell — нестрогий язык, так же как, например, Gofer и Miranda. Нестрогие языки зачастую являются чистыми.

Очень часто строгие языки включают в себя средства поддержки некоторых полезных возможностей, присущих нестрогим языкам, например бесконечных списков. В поставке Standard ML присутствует специальный модуль для поддержки отложенных вычислений. А Objective Caml помимо этого поддерживает дополнительное специальное слово lazy и конструкцию для списков значений, вычисляемых по необходимости.

Решаемые задачи

В качестве задач, традиционно рассматриваемых в курсах функционального программирования, можно выделить следующие:

1. Получение остаточной процедуры.

Если даны следующие объекты:

• $P (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ — некоторая процедура.
• $x_{1} = a_{1}, x_{2} = a_{2}$ — известные значения параметров.
• $x_{3}, \ldots, x_{n}$ — неизвестные значения параметров.

Требуется получить остаточную процедуру $P_{1} (x_{3}, \ldots, x_{n})$. Эта задача решается только на узком классе программ.

2. Построение математического описания функций.

Пусть имеется программа $P$. Для неё определены входные значения $\langle x_{1}, \ldots, x_{n} \rangle$ и выходные значения $\langle y_{1}, \ldots, y_{m} \rangle$. Требуется построить математическое описание функции

$f : D_{x_{1}} \times \ldots \times D_{x_{n}} \rightarrow D_{y_{1}} \times \ldots \times D_{y_{m}}$.

3. Определение формальной семантики языка программирования.

4. Описание динамических структур данных.

5. Автоматическое построение «значительной» части программы по описанию структур данных, которые обрабатываются создаваемой программой.

6. Доказательство наличия некоторого свойства программы.

7. Эквивалентная трансформация программ.

Все эти задачи достаточно легко решаются средствами функционального программирования, но практически неразрешимы в императивных языках.

Справочный материал

Языки функционального программирования

В этом разделе приведено краткое описание некоторых языков функционального программирования (очень немногих). Дополнительную информацию можно почерпнуть, просмотрев ресурсы, перечисленные в следующем разделе.

1. Лисп (List processor). Считается первым функциональным языком программирования. Поддерживает динамическую и факультативно статическую типизацию. Содержит массу императивных свойств, однако в общем поощряет именно функциональный стиль программирования. При вычислениях использует вызов-по-значению. В стандарт Common Lisp входит Common Lisp Object System (CLOS) - объектная система Common Lisp, которая по многим параметрам превосходит объектные системы в других языках (поддерживает метаобъектный протокол, мультиметоды и т.д.).
2. ISWIM (If you See What I Mean). Функциональный язык-прототип. Разработан Питером Ландиным в 60-х годах XX ве́ка для демонстрации того, каким может быть язык функционального программирования. Вместе с языком П. Ландин разработал и специальную виртуальную машину для исполнения программ на ISWIM’е. Эта виртуальная машина, основанная на вызове-по-значению, получила название SECD-машины. На синтаксисе языка ISWIM базируется синтаксис многих функциональных языков. На синтаксис ISWIM похож синтаксис ML, особенно Caml.
3. Scheme. Диалект Lisp’а, предназначенный для научных исследований в области computer science. При разработке Scheme был сделан упор на элегантность и простоту языка. Благодаря этому язык получился намного меньше, чем Common Lisp.
4. ML (Meta Language). Семейство строгих языков с развитой полиморфной системой типов и параметризуемыми модулями. ML преподаётся во многих западных университетах (в некоторых даже как первый язык программирования).
5. Standard ML. Один из первых типизированных языков функционального программирования. Содержит некоторые императивные свойства, такие как ссылки на изменяемые значения и поэтому не является чистым. При вычислениях использует вызов-по-значению. Очень интересная реализация модульности. Мощная полиморфная система типов. Последний стандарт языка — Standard ML-97, для которого существует формальные математические определения синтаксиса, а также статической и динамической семантик языка.
6. Caml Light и Objective Caml. Как и Standard ML принадлежит к семейству ML. Objective Caml отличается от Caml Light в основном поддержкой классического объектно-ориентированного программирования. Также как и Standard ML строгий, но имеет некоторую встроенную поддержку отложенных вычислений.
7. Miranda. Разработан Дэвидом Тёрнером, в качестве стандартного функционального языка, использовавшего отложенные вычисления. Имеет строгую полиморфную систему типов. Как и ML преподаётся во многих университетах. Оказал большое влияние на разработчиков языка Haskell.
8. Haskell. Один из самых распространённых нестрогих языков. Имеет очень развитую систему типизации. Несколько хуже разработана система модулей. Последний стандарт языка — Haskell-98.
9. Gofer (GOod For Equational Reasoning). Упрощённый диалект Haskell’а. Предназначен для обучения функциональному программированию.
10. Clean. Специально предназначен для параллельного и распределённого программирования. По синтаксису напоминает Haskell. Чистый. Использует отложенные вычисления. С компилятором поставляется набор библиотек (I/O libraries), позволяющих программировать графический пользовательский интерфейс под Win32 или MacOS.

Сайты о функциональном программировании

1. http://www.haskell.org/ — очень насыщенный сайт, посвящённый функциональному программированию в общем и языку Haskell в частности. Содержит различные справочные материалы, список интерпретаторов и компиляторов Haskell’а (в настоящий момент все интерпретаторы и компиляторы бесплатны). Кроме того, имеется обширный список интересных ссылок на ресурсы по теории функционального программирования и другим языкам (Standard ML, Clean).
2. http://cm.bell-labs.com/cm/cs/what/smlnj/ — Standard ML of New Jersey. Очень хороший компилятор. В бесплатный дистрибутив помимо компилятора входят утилиты MLYacc и MLLex и библиотека Standard ML Basis Library. Отдельно можно взять документацию по компилятору и библиотеке.
3. http://www.harlequin.com/products/ads/ml/ — Harlequin MLWorks, коммерческий компилятор Standard ML. Однако в некоммерческих целях можно бесплатно пользоваться версией с несколько ограниченными возможностями.
4. http://caml.inria.fr/ — институт INRIA. Домашний сайт команды разработчиков языков Caml Light и Objective Caml. Можно бесплатно скачать дистрибутив Objective Caml, содержащий интерпретатор, компиляторы байт-кода и машинного кода, Yacc и Lex для Caml, отладчик и профайлер, документацию, примеры. Качество компилированного кода у этого компилятора очень хорошее, по скорости опережает даже Standard ML of New Jersey.
5. http://www.cs.kun.nl/~clean/ — содержит дистрибутив компилятора с языка Clean. Компилятор коммерческий, но допускается бесплатное использование в некоммерческих целях. Из того, что компилятор коммерческий, следует его качество (очень быстр), наличие среды разработчика, хорошей документации и стандартной библиотеки.

Литература

1. Хювёнен Э., Сеппенен И. Мир Lisp’а. В 2-х томах. М.: Мир, 1990.
2. Бёрдж В. Методы рекурсивного программирования. М.: Машиностроение, 1983.
3. Филд А., Харрисон П. Функциональное программирование. М.: Мир, 1993.
4. Хендерсон П. Функциональное программирование. Применение и реализация. М.: Мир, 1983.
5. Джонс С., Лестер Д. Реализация функциональных языков. М.: Мир, 1991.
6. Henson  M. Elements of functional languages. Dept. of CS. University of Sassex, 1990.
7. Fokker J. Functional programming. Dept. of CS. Utrecht University, 1995.
8. Thompson S. Haskell: The Craft of Functional Programming. 2-nd edition, Addison-Wesley, 1999.
9. Bird R. Introduction to Functional Programming using Haskell. 2-nd edition, Prentice Hall Press, 1998.

Благодарности

Благодарю Сергиевского Георгия Максимовича, который в своё время обучил меня основам функционального программирования и помог с организацией этого курса лекций.

А также Клочкова Андрея, моего коллегу, с удовольствием помогавшего мне в создании этого курса.