Парадокс Берри

Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. (На самом деле количество слов в таком имени, если исходить из имеющегося количества образующих слов, должно быть значительно меньше. Но для формулировки парадокса это не важно; важно только чтобы это количество было больше количества слов в том имени, которое вводится в данном парадоксе). Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов" является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось число, для которого нет имени!

Честно говоря, не понятно, почему эту логическую конструкцию относят к парадоксам. По всем признакам, это типичный софизм, наподобие апорий Зенона. В данном случае имеет место подмена грамматических правил, по которым образуются имена натуральных чисел. Обычные имена этих чисел образуются по своим, сугубо специфическим правилам, которые и декларируются в начале данного софизма, ограничивая количество имен этих чисел в русском языке. Но затем в нем (парадоксе Б.) делается необоснованный переход к другим правилам (эти правила совпадают с общей грамматикой нашего языка, они регламентируют описание свойств натуральных чисел, тогда как в правилах, регламентирующих построение обычных имен этих чисел, данные свойства не фигурируют), по которым также могут образовываться имена натуральных чисел, но которые имеют весьма отдаленное отношение к предыдущим правилам. По крайней мере, качественное различие между этими правилами существует. Именно такой необоснованный переход, приводящий к парадоксальному выводу (что "названным оказалось число, для которого нет имени"), и совершается в парадоксе Берри.

Выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов" само по себе еще не является именем числа, но его можно ОБЪЯВИТЬ именем числа, что и проделывается неявно в данном парадоксе. Причем само по себе это еще не ведет к парадоксу, если специально оговорить, что вводимое имя - особое, образуемое совсем по другим правилам, нежели обычные имена натуральных чисел, и применимое только в данной особой ситуации. Подобных особых имен в математике достаточно много, и введение ни одного из них еще не приводило к парадоксу именно потому, что они употребляются только в своих, особо оговоренных ситуациях. Например, имя "пи" для иррационального числа 3,14.... Обычное имя этого числа было бы бесконечным, но его особое имя состоит всего из одного слова.

Один из путей формализации данного решения - введение надстрочных (подстрочных) обозначений для неоднозначных терминов (таких как именуемый, определимый, истинный, ложный и т.д.), чтобы один уровень значений был более приоритетным над другими в одной и той же интерпретации. Так, например, число, не "именуемое* с помощью менее чем сто слов" может быть "именуемым** с помощью менее чем сто слов"...

См. также

• Список парадоксов

Литература

• А.А. Ивин "Логика", Москва, "Гардарики", 2002 г., стр. 325.