Параллельные прямые

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

В евклидовой геометрии[править]

Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается).
В свою очередь, существование непересекающихся в плоскости прямых является фактом абсолютной геометрии, т.е. фактом, который может быть доказан и без использования аксиомы Евклида, и без использования аксиомы Лобачевского. А именно, верно следующее утверждение: Если две прямые (в плоскости) перпендикулярны третьей, то они не пересекаются. В планиметрии Евклида любые непересекающиеся прямые — параллельны, в планиметрии Лобачевского это не так.

Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две).

Используя аксиоматику Вейля и векторный подход для построения Евклидовой геометрии, параллельность прямых можно определить так: Две прямые называются параллельными, если направляющие их векторы коллинеарны.

Основные теоремы о параллельных прямых[править]

  1. Параллельность — бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  2. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
  3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости (такая прямая называется секущей), то
    1. она пересекает и другую прямую.
    2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны.
      2. Соответственные углы равны.
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

В геометрии Лобачевского[править]

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку \(C\) вне данной прямой \(a\) проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих \(a\). Из них параллельными к \(a\) называются только две. Прямые \(b\) и \(c\) называются параллельными прямой \(a\), если:

  1. \(b\) и \(c\) не пересекают прямой \(a\).
  2. любая прямая, лежащая в одной паре вертикальных углов с вершиной A и образованных \(b\) и \(c\) пересекает \(a\).
  3. любая прямая, лежащая в другой паре вертикальных углов с вершиной и образованных \(b\) и \(c\) не пересекает \(a\). В последнем случае говорят, что прямые являются расходящимися (или ультрапараллельными).

В геометрии Лобачевского кроме понятия параллельных прямых, существует и понятие направленной параллельности:
Прямая \(CE\) называется параллельной (равнобежной) прямой \(AB\) в направлении от \(A\) к \(B\), если:

  1. точки \(B\) и \(E\) лежат по одну сторону от прямой \(AC\);
  2. прямая \(CE\) не пересекает прямую \(AB\), но всякий луч, проходящий внутри угла \(ACE\), пересекает луч \(AB\).

Аналогично определяется прямая, параллельной \(AB\) в направлении от \(B\) к \(A\).

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

Основные теоремы о параллельных прямых[править]

  • Отношение параллельности на множестве ненаправленных прямых не является бинарным отношением эквивалентности.
  • На множестве направленных прямых:
    1. через точку C, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна направленная прямая, параллельная данной.
  • Отношение параллельности на множестве направленных прямых есть бинарное отношение эквивалентности.
  • Пусть через точку \(A\), не лежащей на прямой \(a\) проведена прямая \(p\), параллельная \(a\). Опустим из точки \(A\) перпендикуляр AB к прямой \(a\). Тогда:
    1. один из смежных углов \(PAB\) или \(PAE\) острый (пусть для определённости это будет угол \(PAE\), обозначим его π — см.рисунок)
      \(A \in p,\, p\|a,\, AB \perp a,\,AB=x\)
      \(\angle PAB < 90^\circ,\,\angle PAB=\pi (x),\)\(\pi (x)=2\operatorname{{arctg}}\ e^{-{x \over k}}\)
    2. мера угла π является функцией, зависящей от длины перпендикуляра AB и вычисляется по формуле π(x)=2\(\operatorname{{arctg}}\ e^{-{x \over k}}\), где x — длина перпендикуляра, а k — константа, называемая кривизной поверхности.