Распределение вероятностей

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Распределение вероятностей — одно из основных понятии теории вероятностей и математической статистики; вероятностная мера \(\mathbf{P}\) определённая на сигма-алгебре событий \(\mathcal{F}\) вероятностного пространства \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})\), где \(\Omega\) — множество элементарных событий; одна из основ аксиоматики А. Н. Колмогорова (1933); с целью исключения некоторых «патологических» случаев обычно дополняется ограничительными требованиями, например, совершенности, регулярности, или сепарабельности вероятностной меры \(\mathbf{P}\).

Обзор вероятностных распределений[править]

Распределения вероятностей, встречающиеся в большинстве конкретных задач теории вероятностей и математической статистики, весьма немногочисленны. Все они давно известны и связаны с основными вероятностными схемами. Они описываются или вероятностями отдельных значений (Дискретное распределение), или плотностями вероятности (Непрерывное распределение). В необходимых случаях для них составлены таблицы. Из этих основных распределений вероятностей одни связаны с повторениями независимых испытаний (Биномиальное распределение, Геометрическое распределение, Полиномиальное распределение), а другие - с соответствующими этой вероятностной схеме предельными закономерностями, возникающими при неограниченном возрастании числа испытаний (Нормальное распределение, Пуассона распределение, Арксинуса распределение). Однако эти предельные распределения вероятностей могут возникать и как точные: в теории случайных процессов (Винеровский процесс, Пуассоновский процесс) или как решения уравнений, возникающих в так называемых характеризационных теоремах (Нормальное распределение, Показательное распределение). Равномерное распределение вероятностей, принимаемое обычно как математическое выражение равновозможности соответствующих исходов опыта, также может быть получено как предельное.

Из упомянутых выше основных распределений вероятностей получают другие распределения вероятностей с помощью функциональных преобразований рассматриваемых случайных величин. Так, например, в математической статистике из нормально распределенных случайных величин получают величины, имеющие хи-квадрат распределение, нецентральное хи-квадрат распределение, Стьюдента распределение, Фишера-Снедекора распределение и др. Важные классы распределений вероятностей были открыты в связи с развитием асимптотических методов теории вероятностей и математической статистики (Предельные теоремы, Устойчивое распределение, Безгранично делимое распределение, Омега-квадрат распределение).

Отношение близости и сходимость вероятностных распределений[править]

С теоретической и прикладной точек зрения важно умение определить понятие близости распределений. Совокупность всех распределений вероятностей на \((\Omega, \mathcal{F})\) может быть различными способами превращена в топологическое пространство. При этом основную роль играет слабая сходимость распределений вероятностей (Сходимость распределений). В одномерном и конечномерном случаях основным средством изучения сходимости распределений вероятностей является аппарат характеристических функций.

Задание вероятностных распределений наборами числовых характеристик[править]

Часто полное описание распределений вероятностей (напр., при помощи плотности вероятности или функции распределения) заменяют заданием небольшого набора числовых характеристик. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, медиана и моменты в одномерном случае, или ковариационные матрицы — в многомерном (см. Корреляция, Регрессия).

Эмпирические распределения[править]

Статистическим аналогом распределения вероятностей является эмпирическое распределение. Эмпирическое распределение и его характеристики могут быть использованы для приближенного представления теоретического распределения и его характеристик (Статистическая оценка). О способах измерения степени согласия эмпирических распределений с гипотетическими распределениями см. в статье Проверка статистических гипотез.

Список известных вероятностных распределений[править]

  1. Арксинуса распределение [Ф2]: 66 г; [СТВМС]: 123
  2. Бернулли распределение
  3. Берра распределение
  4. Бета-распределение [Ф2]: 65 в; [СТВМС]: 122, 6.3.7., 130, 6.3.16
  5. Биномиальное распределение [Ф2]: 164; [СТВМС]: 109, 6.2.3
  6. Биномиальное многомерное распределение
  7. Биномиальное обобщённое распределение [СТВМС]: 115, 6.2.9
  8. Больцмана распределение
  9. Бореля-Таннера распределение [СТВМС]: 116, 6.2.11
  10. Бредфорда распределение
  11. Вейбулла-Гнеденко распределение [Ф2]: 68 ж; [СТВМС]: 132: 6.3.19
  12. Гамма-распределение [Ф2]: 62-63; [СТВМС]: 121, 6.3.6
  13. Геометрическое распределение
  14. Гипергеометрическое распределение [СТВМС]: 112, 6.2.6
  15. Гиперэкспоненциальное распределение [СТВМС]: 118, 6.3.4
  16. Дирихле распределение
  17. Кантора распределение
  18. Колмогорова распределение
  19. Коши распределение [Ф2]: 66 д; [СТВМС]: 123, 6.3.8
  20. Лапласа распределение (второй закон, двусторонняя показательная плотность) [Ф2]: 65 а
  21. Лапласа распределение (двойное экспоненциальное) [СТВМС]: 124, 6.3.9
  22. Логарифмическое распределение [Ф1]: 305 д; [СТВМС]: 115, 6.2.10
  23. Логистическое распределение [Ф2]: 68 з; [СТВМС]: 130, 6.3.15
  24. Логнормальное распределение [СТВМС]: 129, 6.3.14
  25. Нормальное распределение (гауссовское) [Ф1]: 190 (1); [СТВМС]: 119, 6.3.5
  26. Нормальное многомерное распределение
  27. Омега-квадрат-распределение (ω2-распределение)
  28. Парето распределение [Ф2]: 65 в; [СТВМС]: 122, 6.3.7., 130, 6.3.16
  29. Паскаля распределение (отрицательное биномиальное) [СТВМС]: 111, 6.2.4
  30. Пирсона распределение
  31. Пойа распределение (заболеваний) [СТВМС]: 113, 6.2.7
  32. Показательное распределение (экспоненциальное) [СТВМС]: 118, 6.3.3
  33. Полиномиальное распределение
  34. Пуассона распределение [СТВМС]: 114, 6.2.8
  35. Пуассона многомерное распределение
  36. Равномерное и треугольное распределение (Симпсона) [Ф2]: 65 б, [СТВМС]: 116117, 6.3.1.,6.3.2
  37. Рэлея распределение
  38. Салема распределение
  39. Стьюдента распределение (t-распределение) [Ф2]: 64 б; [СТВМС]: 127, 6.3.12
  40. Уилкса распределение (U-распределение)
  41. Уишарта распределение (W-распределение)
  42. Фишера распределение (z-распределение) [Ф2]: 64; [СТВМС]: 131: 6.3.18
  43. Фишера-Снедекора распределение (F-распределение) [Ф2]: 64 а; [СТВМС]: 127: 6.3.13
  44. Фреше распределение
  45. Хи-квадрат-распределение (χ2-распределение) [Ф2]: 63; [СТВМС]: 124, 6.3.10
  46. Хи-квадрат-распределение нецентральное (χ2-распределение нецентральное)
  47. Хи-распределение [СТВМС]: 126, 6.3.11
  48. Хотеллинга распределение (T2-распределение)
  49. Шермана распределение [СТВМС]: 130: 6.3.16, [Кудлаев Э.М. (1997) О распределении Шермана. ТВиП, номер XXII, вып. 4, 813-822].
  50. Эрланга распределение

Литература к списку вероятностных распределений[править]

  • [Ф1], [Ф2] В.Феллер (1984) Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Москва: Мир, т.1 ([Ф1]) 528 с., т.2 ([Ф2]) 752 с.
  • [СТВМС] (1985) Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Москва: Наука, 640 с.
  • Хастингс Н., Дж. Пикок (1980) Справочник по статистическим распределениям. Библиотека иностранных книг для экономистов и статистиков. Москва: Статистика, 96 с. (перевод с английского: Hastings N.A.J., and J.B. Peacock (1976) Statistical Distributions. A Handbook for Students and Practitioners. London: ButterWorths.)

Литература[править]

  • Колмогоров А. H. Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974;
  • Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величии, M.-Л., 1949;
  • Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1-2, М., 1984;
  • Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, 6 изд., M., 1988;
  • Крамер Г. Математические методы статистики, 2 изд., М., 1975;
  • Невё Ж. Математические основы теории вероятностей, М., 1969.

См.также[править]