Табличные интегралы

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Табличный интеграл — простейший интеграл, в записи которого участвуют основные элементарные функции математического анализа.

Табличные интегралы рекомендуется использовать для вычисления любых типовых или сложных интегралов на любом этапе реализации алгоритма нахождения. Допускается следующая процедура: как только встречается табличный интеграл, его можно применять без каких-либо доказательств или вывода.

  • \(\int\,x^a \, dx \, =\, \frac{x^{a+1}}{a+1}\, + C \qquad (a\, \ne \, -1)\)
    • \(\int\,x \, dx \, =\, x\, + \, C\)
  • \( \int \, \frac{dx}{x} \, = \, \ln|x|\, + \, C \)
  • \( \int \, a^x \, dx \, = \, \frac{a^x}{{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip {\ln}{ Натуральный логарифм }}} a}\, + \, C \)
  • \( \int \, e^x \, dx \, = \, e^x \, + \, C \)
  • \( \int \,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} x \, dx \, = \, - \cos x \, + \, C\)
  • \( \int \,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sh}{ Гиперболический синус }}} x \, dx \, = \, \ch x \, + \, C\)
  • \( \int \,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} x \, dx \, = \, \sin x \, + \, C\)
  • \( \int \,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \ch}{ Гиперболический косинус }}} x \, dx \, = \, \sh x \, + \, C\)
  • \( \int{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \tg}{ Тангенс }}} x \, dx \, =\, -\ln|\cos x|\, + \, C \)
  • \( \int{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \ctg}{ Котангенс }}} x \, dx \, =\, \ln|\sin x|\, + \, C \)
  • \( \int \frac{dx}{\cos^2 x} \, = \,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} x \, + \, C\)
  • \( \int \frac{dx}{\ch^2 x} \, = \,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\th}{ Гиперболический тангенс }}} x \, + \, C \)
  • \( \int \frac{dx}{\sin^2 x} \, = \,-{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} x \, + \, C\)
  • \( \int \frac{dx}{\sh^2 x} \, = \,-{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cth}{ Гиперболический котангенс }}} x \, + \, C\)
  • \( \int \frac{dx}{{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} x}\, = \, \ln \left |\tg\frac {x}{2} \right | \, + C\)
  • \( \int \frac{dx}{{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sh}{ Гиперболический синус }}} x}\, = \, \ln \left |\th \frac {x}{2} \right | \, + C\)
  • \( \int \frac{dx}{{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x}\, = \, \ln \left |\tg \left( \frac {x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right | \, + C\)
  • \( \int \frac{dx}{{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\ch}{ Гиперболический косинус }}} x}\, = \, 2\arctg \left (\th \frac {x}{2} \right ) \, + C\)
  • \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \, =\,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%90%D1%80%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\arcsin}{ Арксинус }}} \frac {x}{a}\, + \, C \)
  • \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}} \, =\,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip {\ln}{ Натуральный логарифм }}} \left |x + \sqrt{a^2+x^2} \right |\, + \, C \)
  • \( \int \sqrt{a^2 - x^2}\, dx \, = \, \frac x2 \cdot \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%90%D1%80%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \arcsin}{ Арксинус }}} \frac {x}{a}\, + \, C \)
  • \( \int \sqrt{x^2 \pm a^2}\, dx \, = \, \frac x2 \cdot \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2}\cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip { \ln}{ Натуральный логарифм }}} \left | x+ \sqrt{x^2 \pm a^2} \right |\, + \, C \)
  • \( \int \frac{dx}{a^2+x^2}\, = \, \frac 1a \cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%90%D1%80%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \arctg}{ Арктангенс }}} \frac {x}{a} \, + \, C \)
  • \( \int \frac{dx}{a^2-x^2}\, = \, \frac {1}{2a} \cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip { \ln}{ Натуральный логарифм }}} \left | \frac{a+x}{a-x} \right |\, + \, C \)
  • \(\int\!{dx \over {a^3\pm x^3}} = \frac{1}{6a^2}\left [2\sqrt{3}\,{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%90%D1%80%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\arctg}{ Арктангенс }}} \frac{2x\mp a}{\sqrt{3}\, a} \pm \ln \left |\frac {(a\pm x)^3}{a^3 \pm x^3} \right | \right ] + C \)
  • \(\int\!{dx \over {a^4 - x^4}} = \frac{1}{4a^3}\left [2\,\arctg\,\left (\frac{x}{a} \right ) +{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip { \ln}{ Натуральный логарифм }}} \left |\frac {a+x}{a-x} \right | \right ] + C \)

Литература[править]

  • Письменный Д.Т. Глава 7. Неопределенный интеграл // Конспект лекций по высшей математике. — 2009.>
  • Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. Т. 1. — 1998.>
  • Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990.>

Ссылки[править]