Умножение двухэлементного тензора

В математике, в разделе мультилинейная алгебра, умножение двухэлементного тензора (dyadic product) $$\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}$$

это тензорное произведение вектор столбца $\mathbf{u}$ и вектор строки $\mathbf{v}$. Результат это тензор ранга два (матрица). Это специальный класс векторного произведения или произведения Кронекера, для векторов одинаковой размерности.

Пример

$$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \end{bmatrix}.$$

Определения

Правило суммирования Эйнштейна для умножения двухэлементного тензора $$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$$

может быть определено $$\mathbb{P}_{ij} = u_i v_j .$$

Со знаком суммирования, получается $$\sum_{i,j}u_i v_j \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j^T.$$

См. также

• Двухэлементный тензор
• Тензорное произведение