Центр масс

Введение

Центр масс (центр ине́рции, барице́нтр) в механике — это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.

Определение

Положение центра масс (центра инерции) в классической механике определяется следующим образом: $$\vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i m_i}{\sum \limits_i m_i},$$

где $$\vec r_c$$— радиус-вектор центра масс, $$\vec r_i$$— радиус-вектор i-й точки системы, $$~ m_i$$— масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс: $$\vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV,$$ $$M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV,$$

где: $$~ M$$— суммарная масса системы, $$~ V$$— объём, $$~ \rho$$— плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Центры масс однородных фигур

• У отрезка — середина.
• У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
  • У параллелограмма — пересечение диагоналей.
  • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
• У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.

В механике

Понятие центра масс широко используется в физике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется: $$\vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i},$$

где $$\vec r_c$$— радиус-вектор центра масс, $$\vec r_i$$— радиус-вектор i-й частицы системы, $$~ E_i$$— энергия i-й частицы (E = Епок + Ek)

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лившица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

Центр масс системы материальных точек

В системе материальных точек координаты центра масс могут быть определены по формулам: $$x_c= \frac{\sum \limits_i m_i x_i}{\sum \limits_i m_i},$$ $$y_c= \frac{\sum \limits_i m_i y_i}{\sum \limits_i m_i},$$ $$z_c= \frac{\sum \limits_i m_i z_i}{\sum \limits_i m_i},$$

где $\sum \limits_i m_i$ - суммарная масса системы; x_i, y_i и z_i — координаты i-й материальной точки; m_i — масса i-й материальной точки.

Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести!

Центром тяжести тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из 2 одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня. В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в объёме тела).

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статистике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

Страница: 0

en Center of mass

См. также

• Классическая механика
• Теоретическая механика