Электромагнитное поле цилиндра

В электродинамике, электромагнитное поле цилиндра рассматривается как поле одного из самых простых геометрических тел. Решения для компонент электромагнитного поля для случаев неподвижного и вращающегося цилиндра ненамного сложнее, чем соответствующие решения для шара.

При вращении однородно заряженного цилиндра с постоянной угловой скоростью поле стационарно и не зависит от времени. В этом случае для электрического скалярного потенциала $~ \varphi$ и для векторного потенциала $~ \mathbf A$ из уравнений Максвелла следуют уравнения: $$~ \Delta \varphi = -\frac {\gamma \rho_{0q}}{\varepsilon_0 }, \qquad (1)$$ $$~ \Delta \mathbf A = -\frac {\gamma \rho_{0q}}{\varepsilon_0 c^2} \mathbf v, \qquad (2)$$

где $~ \Delta$ есть оператор Лапласа; $~ \gamma$ – фактор Лоренца; $~ \rho_{0q}$ – инвариантная плотность заряда вещества цилиндра; $~ \varepsilon_0$ – электрическая постоянная; $~ c$ – скорость света; $~ \mathbf v$ – линейная скорость вращения произвольной точки, взятой в объёме цилиндра.

Длинный неподвижный цилиндр

В неподвижном цилиндре фактор Лоренца заряженных частиц вещества равен $~ \gamma =1$, если не учитывать собственное хаотическое движение этих частиц. Лапласиан в (1) удобно выразить в цилиндрических координатах $~ \rho \ , \phi \ , z$. В достаточно длинном цилиндре можно пренебречь краевыми эффектами, существенными вблизи торцов цилиндра, и считать, что поле в основном зависит лишь от координаты $~ \rho$. В таком приближении внутри цилиндра электрический потенциал и напряжённость электрического поля равны: $$~ \varphi_i = - \frac { \rho_{0q}\rho^2 }{4\varepsilon_0 }+ \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],$$ $$~ \mathbf E_i = \frac { \rho_{0q} \rho }{2\varepsilon_0 } \mathbf e_\rho ,$$

где $~ L$ есть длина цилиндра, $~ a$ – радиус цилиндра, $~ \mathbf e_\rho$ – единичный вектор, направленный вдоль цилиндрической координаты $~ \rho$.

Как видно, потенциал внутри цилиндра зависит от его длины $~ L$ логарифмически, вследствие присутствия ареасинуса $~ \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} }$. Внутреннее электрическое поле $~ \mathbf E_i$ вдалеке от торцов цилиндра при $~ z < < L/2$ направлено перпендикулярно оси вращения и равно нулю на оси вращения, где $~ \rho =0$.

Соответствующий внешний электрический потенциал и напряжённость электрического поля за пределами длинного цилиндра имеют следующий вид: $$~ \varphi_o = - \frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 } \ln \frac {\rho}{a} - \frac { \rho_{0q} a^2 }{4\varepsilon_0 }+ \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],$$ $$~ \mathbf E_o = \frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 \rho } \mathbf e_\rho .$$

Указанные выше формулы требуют коррекции вблизи торцов цилиндра, так как здесь электрический потенциал и напряжённость поля становятся функциями не только от $~ \rho$, но и от $~ z$.

Длинный вращающийся цилиндр

При вращении цилиндра с постоянной угловой скоростью $~ \omega$ фактор Лоренца заряженных частиц вещества становится функцией $~ \rho$: $$~ \gamma = \frac {1}{ \sqrt {1-v^2/c^2} }= \frac {1}{ \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} } .$$

С учётом этого решением уравнения (1) для скалярного потенциала, а также для напряжённости поля внутри вращающегося однородно заряженного цилиндра вдалеке от торцов цилиндра будет следующее: $$~ \varphi_i = \frac { c^2 \rho_{0q} }{\varepsilon_0 \omega^2 } \left[ \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} - \ln \left (1+\sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} \right ) -1 + \ln 2 \right ] + \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],$$ $$~ \mathbf E_i = \frac { \rho_{0q} \rho }{\varepsilon_0 \left (1+\sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} \right ) } \mathbf e_\rho .$$

За пределами длинного вращающегося цилиндра скалярный потенциал и напряжённость электрического поля выражаются формулами: $$~ \varphi_o = -\frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 } \ln \frac {\rho}{a} + \frac { c^2 \rho_{0q} }{\varepsilon_0 \omega^2 } \left[ \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} - \ln \left (1+\sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} \right ) -1 + \ln 2 \right ] + \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],$$ $$~ \mathbf E_o = \frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 \rho } \mathbf e_\rho .$$

Векторный потенциал и магнитное поле

Вращение заряженного вещества цилиндра приводит к возникновению векторного потенциала $~ \mathbf A$ и индукции магнитного поля $~ \mathbf B$. Для этих величин внутри цилиндра вдалеке от торцов цилиндра как следствие (2) получается следующее: $$~ \mathbf A_i = \frac {\rho_{0q}}{\varepsilon_0}\left [ \frac {c^2 }{3 \omega^3 \rho} - \frac {c^2 }{3 \omega^3 \rho} \left( 1- \omega^2 \rho^2/c^2 \right)^{3/2} - \frac {\rho }{2\omega } + \frac {\omega \rho }{4 c^2} \left( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2 } - \frac {L^2}{2} \right) \right] \mathbf e_\phi,$$ $$~ \mathbf B_i =\frac {\rho_{0q}}{\varepsilon_0}\left [ \frac {1 }{ \omega} \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} - \frac { 1}{\omega } + \frac {\omega }{2 c^2} \left( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2 } - \frac {L^2}{2} \right) \right] \mathbf e_z ,$$

где $~ \mathbf e_\phi$ – единичный вектор, направленный вдоль цилиндрической координаты $~ \phi$, $~ \mathbf e_z$ – единичный вектор, направленный вдоль цилиндрической координаты $~ z$. Как видно, внутренний векторный потенциал вращается вокруг оси вращения цилиндра. Что касается магнитного поля, то оно направлено вдоль оси вращения, вдоль которой отсчитывается координата $~ z$. При этом магнитное поле максимально на самой оси и стремится к нулю вблизи поверхности цилиндра.

Внешний векторный потенциал и магнитное поле длинного цилиндра определяются формулами: $$~ \mathbf A_o = \frac {\rho_{0q}}{\varepsilon_0 \rho }\left [ \frac {c^2 }{3 \omega^3 } - \frac {c^2 }{3 \omega^3 } \left( 1- \omega^2 a^2/c^2 \right)^{3/2} - \frac {a^2 }{2\omega } + \frac {\omega a^2 }{4 c^2} \left( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2 } - \frac {L^2}{2} \right) \right] \mathbf e_\phi,$$ $$~ \mathbf B_o = \nabla \times \mathbf A_o \approx 0 .$$

Данные формулы являются достаточно точными недалеко от центра длинного цилиндра. Однако по мере приближения к торцам цилиндра следует учесть то, что в формулах для векторного потенциала и магнитного поля появляются существенные добавки вследствие зависимости от координаты $~ z$. Для бесконечно длинного цилиндра вышеприведённые формулы можно использовать без ограничений.

Теорема Федосина позволяет точно вычислять магнитное поле на оси вращения заряженных вращающихся тел. В частности, магнитное поле внутри цилиндра зависит от $~ z$: $$~B_z(0 \le z \le L/2) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2}\left [ \left (\frac {L}{2}+z \right ) \sqrt { \left ( \frac {L}{2} +z \right )^2 + a^2 } - \left ( \frac {L}{2} +z \right )^2 \right ] + \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2}\left [ \left (\frac {L}{2} - z \right ) \sqrt { \left ( \frac {L}{2} - z \right )^2 + a^2 } - \left ( \frac {L}{2} - z \right )^2 \right ] .$$

В центре цилиндра при $~ z=0$ магнитное поле равно: $$~B_z(z =0) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2} \left ( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2} - \frac {L^2}{2} \right ) \approx \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q} a^2}{2} .$$

Если брать точки на оси вращения за пределами цилиндра, то там магнитное поле имеет вид: $$~B_z(z \ge L/2) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2}\left [ \left (z + \frac {L}{2} \right ) \sqrt {\left (z + \frac {L}{2} \right )^2 + a^2 } - \left (z - \frac {L}{2} \right ) \sqrt { \left (z - \frac {L}{2} \right )^2 + a^2 } + \left (z - \frac {L}{2} \right )^2 - \left (z + \frac {L}{2} \right )^2 \right ] \approx \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q} a^4 L}{8 z^3}.$$

На торце цилиндра при $~ z = L/2$ получается $$~B_z(z = L/2) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2} \left ( L \sqrt {L^2 + a^2} - L^2 \right ) \approx \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q} a^2}{4}.$$

В результате магнитное поле в центре почти в два раза больше, чем на торце цилиндра на оси вращения. Такое различие показывает степень влияния краевых эффектов и необходимость учёта в (2) зависимости векторного потенциала от координаты $~ z$ вблизи торцов цилиндра.

См. также

• Теорема энергии поля
• Теорема Федосина
• Уравнение векторного поля
• Электромагнитное поле

Внешние ссылки

• Electromagnetic field of cylinder