Гиперболические функции

Гиперболические функции Понятие Элементарная функция, выражающаяся через экспоненту

Отношения с другими понятиями:

Теория:

Тригонометрия

Элементарная функция:

Гиперболические функции 

Гиперболические функции — семейство элементарных функций, выражающаяся через экспоненту и имеющих однозначные соответствия среди тригонометрических функций.

Список функций

Название	Обозначение	Определение	График
Гиперболический синус	$\sh$	$$\sh x = \frac{ e ^ x - e ^ { -x } }{ 2 }$$
Гиперболический косинус	$\ch$	$$\ch x = \frac{ e ^ x + e ^ { -x } }{ 2 }$$
Гиперболический тангенс	$\th$	$$\th x = \frac{ \sh x }{ \ch x } = \frac{ e ^ x - e ^ { -x } }{ e ^ x + e ^ { -x } }$$
Гиперболический косеканс	$\csch$	$$\csch x = \frac{ 1 }{ \sh x } = \frac{ 2 }{ e ^ x - e ^ { -x } }$$
Гиперболический секанс	$\sech$	$$\sech x = \frac{ 1 }{ \ch x } = \frac{ 2 }{ e ^ x + e ^ { -x } }$$
Гиперболический котангенс	$\cth$	$$\cth x = \frac{ \sh x }{ \ch x } = \frac{ e ^ x + e ^ { -x } }{ e ^ x - e ^ { -x } }$$

Графики для сравнения

Связь с тригонометрическими функциями

Название гиперболической функции получается из названия соответствующей тригонометрической добавлением слова гиперболический. Название обратной гиперболической функции получается заменой арк- на ареа-.

Гиперболические функции на множестве вещественных чисел, в отличие от тригонометрических, непериодичны.

Чётность гиперболической функции та же, что и соответствующей тригонометрической. Результаты дифференцирования и взятия первообразная сохраняются при замене исходной функции и результата с тригонометрической на гиперболическую и обратно.

Гиперболические функции выражаются через соответствующие тригонометрические функции от мнимого аргумента:

$$\begin{align*}\sh x &= -i \, \sin ix \\\ch x &= \cos ix \\\th x &= -i \, \tg ix \\\sh i x &= i \, \sin x \\\ch i x &= \cos x \\\th i x &= i \, \tg x .\end{align*}$$

$$$$ Замена аргумента тригонометрической фукции его функцией Гудермана $\gd x = \int\limits_0^x \frac{ \dd t }{ \ch t }$ (половиной в случае тангенса) даёт одну из гиперболических функций аргумента: $$\begin{align*}\th { x \over 2 } &= \tg \frac{ \gd x }{ 2 } \\\sh x &= \tg( \gd x ) \\\ch x &= \sec( \gd x ) \\\th x &= \sin( \gd x ) \\\sech x &= \cos( \gd x ) \\\csch x &= \ctg( \gd x ) \\\cth x &= \cosec( \gd x )\end{align*}$$