Конус

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Конус (прямой круговой)
Конус (усеченный круговой )

Ко́нустело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

В математике коническим сечением, или коникой именуют пересечение плоскости с круговым конусом.

Также конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в данном случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). В дальнейшем будет рассматриваться этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Связанные определения[править]

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Свойства[править]

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

$$~2\pi \left(1 -{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} {\alpha \over 2} \right)$$

где \(~\alpha\) — угол раствора конуса (то есть угол между двумя противоположными образующими).
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна

$$~S = \pi R l$$

где \(~R\) — радиус основания, \(~l\) — длина образующей.
  • Объем кругового конуса равен

$$V={1 \over 3} \pi R^2H$$

Обобщения[править]

В алгебраической геометрии конус — это произвольное подподмножество \(K\) векторного пространства \(V\) над полем \(F\), для которого для любого \(\lambda\in F\) $$\lambda K = K$$

См. также[править]