Телесный угол

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы: $$\Omega\,=\,{S\over R^2}.$$

Стерадиан

Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) числами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ (система единиц) является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы единичного радиуса поверхность с площадью в 1 квадратную единицу. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

  Стерадиан Кв. градус Кв. минута Кв. секунда Полный угол
1 стерадиан = 1 (180/π)² ≈
≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/π)² ≈
≈ 1,1818103×107 кв. минут
(180×60×60/π)² ≈
≈ 4,254517×1010 кв. секунд
1/4π ≈
≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус = (π/180)² ≈
≈ 3,0461742×10−4 стерадиан
1 60² =
= 3600 кв. минут
(60×60)² =
= 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈
≈ 2,424068×10−5 полного угла
1 кв. минута = (π/(180×60))² ≈
≈ 8,461595×10−8 стерадиан
1/60² ≈
≈ 2,7777778×10−4 кв. градусов
1 60² =
= 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈
≈ 6,73352335×10−9 полного угла
1 кв. секунда = (π/(180×60×60))² ≈
≈ 2,35044305×10−11 стерадиан
1/(60×60)² ≈
≈ 7,71604938×10−8 кв. градусов
1/60² ≈
≈ 2,7777778×10−4 кв. минут
1 π/(2×180×60×60)² ≈
≈ 1,87042315×10−12 полного угла
Полный угол = 4π ≈
≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈
≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈
≈ 1,48511066×108 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈
≈ 5,34638378×1011 кв. секунд
1

Телесный угол обычно обозначается буквой Ω.

Вычисление телесных углов[править]

Для произвольной стягивающей поверхности \(S\) телесный угол \(\Omega\), под которым она видна из начала координат, равен

\(\Omega = \iint\limits_S d\Omega = \iint\limits_S{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \vartheta d\varphi d\vartheta = \iint\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},\)

где \(r, \vartheta, \varphi\) — сферические координаты элемента поверхности \(dS,\) \(\mathbf{r}\) — его радиус-вектор, \(\mathbf{n}\) — единичный вектор, нормальный к \(dS.\)

Свойства телесных углов[править]

  1. Полный телесный угол (полная сфера) равен \(4\pi\) стерадиан.
  2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов[править]

  • Треугольник с координатами вершин \(\mathbf{r}_1\), \(\mathbf{r}_2\), \(\mathbf{r}_3\) виден из начала координат под телесным углом

\(\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},\)

где \((\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)\) — смешанное произведение данных векторов, \((\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j)\) — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен \(\Omega = 2\pi (1 -{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \frac{\alpha}{2})\). Если известны радиус основания \(R\) и высота \(H\) конуса, то \(\Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}})\). Когда угол раствора конуса мал, \(\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4}\) (\(\alpha\) выражено в радианах), или \(\Omega \approx 0,000239 \alpha^2\) (\(\alpha\) выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6×10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

См. также[править]