Отношение (логика)

Отноше́ние — в логике первого порядка двух- и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух- и более предикатное свойство. Знак отношения: R.

В терминах отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики.

Суждение (высказывание), обозначающее отношение, называется относительным суждением (относительным высказыванием). В содержательных формулировках естественных языков отношение выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). Эти подлежащие и дополнения (в зависимости от их числа) в логике называются членами, субъектами или элементами данного отношения.

Также в зависимости от числа элементов в логике говорят о бинарных (двуместных, двучленных), тернарных (трёхместных, трёхчленных), в общем случае — о n-арных (n-местных, n-членных) отношениях.

Выражение отношений в формализованных языках

Содержательные представления естественных языков реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры) и математической логики. Точное выражение (уточнение) теории множеств отражает экстенсиональный (объёмный) аспект понятия отношения, уточнение математической логики — интенсиональный (смысловой, содержательный) аспект.

Термин «алгебра отношений» используется и для обозначения соответсвующего раздела алгебры, и как синоним термина «логика отношений».

На языке теории множеств и алгебры n-местным (n-арным, в частности, бинарным) отношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество назвается полем данного отношения.

Если, например, упорядоченная пара (х, у) принадлежит некоторому отношению R, то говорят также, что х находится в отношении R к у (символически: R(xy) или xRy).

Для понимаемых таким образом отношений определяются понятия области определения данного отношения и области его значений. Множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в отношение R, составляет его область определения (область отправления). Множество их вторых элементов составляет область значений (область прибытия). Аналогичные понятия вводятся и для многоместных отношений. Поскольку отношения являются частными случаями множеств, для них также аналогично тому, как это делается в теории множеств, вводятся операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения отношений.

В формализованных языках математической логики аналогом понятия отношения служит понятие (многоместного) предиката.

С помощью аппарата алгебры отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики, например, понятия функции и операции.

Логика отношений

Раздел логики, изучающий высказывания об отношениях между объетами разной природы, называется логикой отношений.

Хотя в логических сочинениях Аристотеля можно найти высказывания об отношений, логика отношений как теория не состоялась в античной логике. Несколько большую разработку эти идеи получили в средневековой логике.

По-настоящему логика отношений была создана только в Европе XIX века. Наиболее значительный вклад в её разработку внесли А. Чёрч, Б. Рассел. Из русских логиков можно назвать С. И. Поварнина.

Независимо от европейской традиции логика отношений была создана в Индии школой ньяя.

Поскольку в математической логике, начиная с XIX века, отно­шения выражаются посредством многоместных предикатов, современная модификация логики отношений в её составе разрабатывается как часть логики предикатов.

Отношение и свойство

Многоместные и одноместные предикаты записываются в математической логике в виде пропозици­ональных функций. Число переменных (аргументов) в функции характеризует число мест, на которые могут подставляться имена предметов. Отношения бывают двухместными, трёхместными и т. д.; общий случай называется n-местным отношением.

Виды пропозициональных функций

Обозначение функции	Название пропозициональной функции	Пример предиката и соответствующей ему пропозициональной функции	Действительность, которой соответствует пропозициональная функция	Пример реальности
Р(х) или Px	Пропозициональная функция с одной переменной	«Чётное число (х)» или «x — чётное число»	Свойство	«Быть чётным числом»
R(x, y) или xRy	Пропозициональная функция с дву­мя переменными	«х больше у», «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой»	Двухместноое отношение	«Боль­ше», «короче», «быть параллельным».
R(x, у, z)	Пропозицио­нальная функция с тремя переменными	«х находится между у и z»? «x есть сумма y и z»	Трёхместное отношение	«Находиться между», «быть суммой»
R(x, у, z, u)	Пропозицио­нальная функция с четырьмя переменными	«х относится к у, точно также, как z к u» («x, y, z, u являются членами пропорции»)	Четырёхместное отношение	«Быть членами пропорции»
и так далее

Отношение отличается от свойства тем, что приписывание свойства одному-единственному индивиду приводит к образо­ванию либо истинного, либо ложного суждения, а отношение есть такая характе­ристика, которая для образования либо истинного, либо лож­ного суждения требует по меньшей мере приписывания ее двум предметам.

Примеры образования ложных и истинных суждений

Характеристика	Пример функции	Пример истинного суждения	Пример ложного суждения	Пример бессмысленного выражения
Свойство	«х — чётное число»	«4 — чётное число» (подстановка индивида 4 вместо переменной х)	«5 — чётное число» (подстановкя числа 5 вместо х)
Двухместное отношение	«х больше у»	«5 больше 3» (подстановка индивидов 5 и 3 вместо х и у)	«1 больше 2» (под­становка индивидов 1 и 2 вместо х и у)	«3 больше» (отнношение приписывается только одному индивиду 3)

Бессмысленное выражение в последней главе таблицы — выражение, которое не образует ни истинного, ни ложного суждения, и, таким образом лишено смысла.

Отношение также определеяется как многоместное свойство, свойство — как одноместное отношение, но некоторые логические теории отвергают возможность такого отождествления.

Виды отношений

Виды отношений по числу элементов

• Бинарное отношение — то же, что двухместное отношение (двучленное отношение).
• Тернарное отношение — то же, что трёхместное отношение (трёхчленное отношение).
• Кватернарное отношение — то же, что четырёхместное отношение (четырёхчленное отношение)

Виды двухместных отношений по их свойствам

• Обратное отношение (отношение, обратное к R) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R^-1. Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R^-1)^-1 = R.
• Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.
• Рефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивные отношений: равенство, одновременность, сходство.
• Нерефлексивное отношение (иррефлексивное отношение, антирефлексивное отношение) — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), то есть возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать», «быть перпендикулярным».
• Транзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRz$\to$xRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
• Нетранзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz ($\neg$(xRy&yRz$\to$xRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
• Симметричное отношение двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), неравенство, отношение типа равенства, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
• Антисимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR^-1y следует х = у (то есть R и R^-1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
• Асимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует $\neg$ yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
• Отношение типа равенства (отношение тождества, отношение эквивалентности) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям): 1) аксиоме рефлексивности: xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе); 2) аксиоме симметрич­ности: xRy$\to$yRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х); 3) аксиоме транзитивности: xRy&yRz$\to$xRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к г). Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке, подобие, одновременность. Пример отнощения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».
• Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.
• Функциональное отношение (однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве и отличающееся тем, что каждому значению у отно­шения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х. Пример: «х отец у». Свойство функциональности отно­шения R записывается в виде аксиомы: (xRy и zRy)$\to$(x$\equiv$z). Поскольку каждому значению у в выражениях xRy и zRy соответствует одно и то же значение для х и z, то х и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку в об­щем случае каждому значению у отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х, но не наоборот.
• Одно-однозначное отношение (взаим­но однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве и отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значению у соответствует единственное значение х. Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения. Примеры одно-однозначного отношения: «х есть отец единственного у».
• Связанное отношение — это двухместное отношение, определённое на некотором множестве отличающееся тем, что для любых не равных между собой х и у, принаждежащих к этому множеству, одно из них находится в отношении R к другому (то есть выполнено одно из трёх соотношений: xRy, х = у или yRx). Пример: Отношение «меньше» (<).

Опираясь на различные свойства двухместных отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необ­ходимым для вывода свойством. Например, кажется, что отношение «быть братом» симметрично, поэтому из выс­казывания «а — брат b» можно сделать вывод о том, что «b — брат а». На самом деле, тут в равной степени возможен вывод «b — сестра a».

См. также

• Логическое отношение
• Отношение включения класса в класс
• Отношение принадлежности элемента классу (отношение принадлежности элемента множеству)
• Отношение (философия)
• Функция

Литература

• Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук / Пер. с англ. — М., 1948.
• Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. — Т. 1. — М., 1960.
• Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М., 1963.
• Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. — М., 1971.

Источники

• Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике — М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. — 384 с.

Статья основана на материалах Большой советской энциклопедии.