Парадокс Рассела

Данный парадокс опирается на понятие множества всех множеств, которое содержит в себе (в качестве подмножеств) все без исключения множества и, в то же время, само является множеством. Это означает, что наряду со всеми другими множествами, оно содержит само себя в качестве подмножества. Именно этот факт и обыгрывается в парадоксе Рассела.

Итак, условимся называть «правильными» такие множества, которые не содержат себя в качестве подмножества, а «неправильными» — такие множества, которые содержат себя в качестве подмножества. Если теперь взять множество всех правильных множеств (множество Рассела) и задаться вопросом, каким оно является — правильным или неправильным?, — то получается парадокс:

Если множество Рассела является правильным множеством, то должно содержать себя в качестве подмножества (поскольку содержит все правильные множества), что противоречит определению правильного множества (как множества, не содержащего себя в качестве подмножества).

Но если множество Рассела является неправильным множеством (то есть содержит себя в качестве подмножества), то оно содержит, как минимум, одно неправильное множество, что противоречит его собственному определению (как множества, содержащего только правильные множества)…

Общепризнанного решения этого парадокса сегодня не существует, существуют только различные способы удаления (элиминации) из теории множеств объектов, подобных множеству Рассела. Например, теория множеств Цермело аксиоматически ограничивает построение множеств только «допустимыми» множествами. В то же время, эти аксиомы достаточно сильны для того, чтобы из них выводились обычные рассуждения классической математики.

Другим популярным способом устранения данного парадокса является простая теория типов Рассела. Она представляет собой своеобразную логическую грамматику, устанавливающую различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т. д. При этом свойства можно приписывать только предметам, свойства свойств — свойствам и т. д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.

Рассмотрим серию предложений:
Этот дом — розовый.
Розовый — это цвет.
Цвет — это оптичесое явление.

Все три предложения являются, конечно, осмысленными. Они построены в строгом соответствии с требованиями теории типов. С другой стороны, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. С точки зрения теории типов данное предложение является бессмысленным.

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела, но не устраняет многие другие парадоксы (прежде всего, парадокс лжеца), как того добивался Рассел. По этой причине сегодня ее рассматривают как один из вариантов устранения данного парадокса, равноправный с теорией множеств Цермело. Хотя ее вполне можно было бы рассматривать как решение данного парадокса. Проблема в том, что подобная логическая грамматика не является пока что общепринятой.

Настоящее решение этого парадокса будет найдено только тогда, когда будут поняты причины его возникновения. Так, например, введенный Расселом принцип порочного круга оказался недостаточным для объяснения этих причин. Согласно этому принципу, совокупность объектов не может содержать членов, определяемых посредством этой же совокупности. Такое определение называется самоприменимым или циркулярным. Оно имеет место в таких парадоксальных высказываниях, как «Я лгу», «Множество, содержащее самого себя в качестве подмножества» и т. д.. Проблема в том, что цирклярными являются и многие другие, непарадоксальные определения, такие как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел» и т. д.. Это означает, что кроме циркулярности необходим какой-то дополнительный критерий, отделяющий циркулярность, ведущую к парадоксу, от всех других ее случаев.

В качестве такого критерия можно предложить следующее объяснение парадокса Рассела: множество всех множеств (не множество Рассела, а именно множество всех множеств!), которое само по себе является множеством, не всегда можно разделить на такие части, которые также были бы множествами (то есть подмножествами множества всех множеств). Именно такая ситуация и возникает в парадоксе Рассела, в котором множество всех множеств делится на две части (классы? совокупности?) — на правильные множества и неправильные множества, — каковые (части) множествами не являются, поскольку содержат элемент, который принадлежит и не принадлежит каждой из этих частей. (Причем принадлежит он ей лишь в той мере, в какой не принадлежит другой части!) Множество Рассела — это и есть такой элемент. Множество всех множеств не может быть таким элементом, поскольку вне его не существует никаких других множеств.

Данное объяснение учитывает циркулярность (в виде определения множества всех множеств) и, в то же время, позволяет избежать парадокса, поскольку обращает внимание на то, что части, на которые делится множество всех множеств, не могут быть множествами. В частности, таковым не является «множество Рассела», оно же «множество всех правильных множеств». А если оно таковым не является, то нет и вопроса о принадлежности его к правильным или неправильным множествам.

Проиллюстрируем это на примере парадокса брадобрея — популярного аналога парадокса Рассела:

Предположим, что брадобрей бреет тех, и только тех жителей города, которые не бреются сами. (Подразумевается, что жителями города являются только бреющиеся мужчины). Вопрос: кто бреет брадобрея?

Если он бреет сам себя, то принадлежит к тем жителям города, которых он не должен брить, а значит не должен брить самого себя. И наоборот, если он не бреет сам себя, то принадлежит к тем жителям города, которых он должен брить, а значит должен брить самого себя…

Согласно приведенному объяснению, брадобрей не охватывается подобным делением жителей города. Он может принадлежать только всему городу.