Симметричность

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Симметричность — в математике и логике, свойство бинарных отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в котором эти объекты входят в пару: отношение \(R\) называется симметричным, если для любых объектов \(x\) и \(y\) из области определения \(x R y\) влечёт \(y R x\). Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия), их «ослабленные формы» — отношения толерантности (сходства, соседства и т. п.), а также (как следует из данного выше определения) обратные к ним отношения неравенства и др. Отношение \(R\) называется антисимметричным, если из \(x R y\) при \(x\) следует \(\neg y R x\) (отрицание \(y R x\)), т. е. если из \(x R y\) и \(y R x\) непременно следует \(x = y\), таковы, например, отношения порядка (по величине или какому-либо другому упорядочивающему критерию) между числами или другими объектами, отношение включения между множествами и т. п. В применении к логическим и логико-математическим операциям свойство симметричности называется коммутативностью (перестановочностью); например, результаты сложения и умножения чисел, объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний (см. Алгебра логики) не зависят от порядка слагаемых, сомножителей и т. д. Понятия симметричности и коммутативности естественно обобщаются на случай произвольного числа объектов.