Симметричность

Симметричность — в математике и логике, свойство бинарных отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в котором эти объекты входят в пару: отношение $R$ называется симметричным, если для любых объектов $x$ и $y$ из области определения $x R y$ влечёт $y R x$. Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия), их «ослабленные формы» — отношения толерантности (сходства, соседства и т. п.), а также (как следует из данного выше определения) обратные к ним отношения неравенства и др. Отношение $R$ называется антисимметричным, если из $x R y$ при $x$ следует $\neg y R x$ (отрицание $y R x$), т. е. если из $x R y$ и $y R x$ непременно следует $x = y$, таковы, например, отношения порядка (по величине или какому-либо другому упорядочивающему критерию) между числами или другими объектами, отношение включения между множествами и т. п. В применении к логическим и логико-математическим операциям свойство симметричности называется коммутативностью (перестановочностью); например, результаты сложения и умножения чисел, объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний (см. Алгебра логики) не зависят от порядка слагаемых, сомножителей и т. д. Понятия симметричности и коммутативности естественно обобщаются на случай произвольного числа объектов.