Система координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). Смотри географические координаты.

В астрономии координаты — величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение.

Небесные координаты — числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой систему полярных координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом. Систему небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, отстоящим на 90° от любой точки этого круга) с указанием на нём начальной точки отсчёта одной из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как Декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Основные системы координат[править | править код]

В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

Декартовы координаты[править | править код]

Основная статья: Прямоугольная система координат

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел $(x, y):$

$x$ — расстояние от точки P до оси y с учетом знака
$y$ — расстояние от точки P до оси x с учетом знака

В пространстве необходимо уже 3 координаты $(x, y, z):$

$x$ — расстояние от точки P до плоскости yz
$y$ — расстояние от точки P до плоскости xz
$z$ — расстояние от точки P до плоскости xy

Полярные координаты[править | править код]

Полярные координаты.

Основная статья: Полярная система координат

В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом φ её радиус-вектора к оси Ox.

В пространстве применяются обобщения полярных координат — цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрические координаты[править | править код]

Цилиндрические координаты.

Основная статья: Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты — трёхмерный аналог полярных, в котором точка P представляется упорядоченной тройкой $(r, \varphi, z).$ В терминах декартовой системы координат,

$0\leqslant{r}$ (радиус) — расстояние от оси z до точки P,
$0\leqslant\varphi$ (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и отрезком, проведённым от полюса до точки P и спроектированной на плоскость xy.
$z$ (высота) равна декартовой z-координате точки P.

Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение ρ, для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение θ, для третьей координаты — обозначение h.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение φ не определено при r = 0.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом R в декартовых координатах (с осью z, совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение $x^2 + y^2 = R^2,$ тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как r = R.

Сферические координаты[править | править код]

Сферические координаты.

Основная статья: Сферическая система координат

Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.

В сферической системе координат расположение точки P определяется тремя компонентами: $(\rho, \varphi, \theta).$ В терминах декартовой системы координат,

$0\leqslant\rho$ (радиус) — расстояние от точки P до полюса,
$0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ$ (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью x и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки P, на плоскость xy.
$0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ$ (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью z и отрезком, проведённым из полюса до точки P.

Примечание: в литературе иногда азимут обозначается θ, а полярный угол - φ. Иногда для радиальной координаты используется r вместо ρ. Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°). Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси z, а от плоскости xy; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°]. Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.

Сферическая система координат также имеет недостаток: φ и θ не определены, если ρ = 0; угол φ не определён также и для граничных значений θ = 0 и θ = 180° (или для θ = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).

Для построения точки P по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси z отложить отрезок, равный ρ, повернуть его на угол θ вокруг оси y в направлении положительной полуоси x, и затем повернуть на угол θ вокруг оси z в направлении положительной полуоси y.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом R в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как $x^2+y^2+z^2=R^2,$ тогда как в сферических координатах оно становится намного проще: $\rho=R.$