Цилиндрическая система координат

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Цилиндрическая системв координат.
Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой \(z\)), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка \(P\) даётся как \((\rho,\;\varphi,\;z)\). В терминах прямоугольной системы координат:

  • \(\rho\geqslant 0\) — расстояние от \(O\) до \(P'\), ортогональной проекции точки \(P\) на плоскость \(XY\). Или то же самое, что расстояние от \(P\) до оси \(Z\).
  • \(0\leqslant\varphi\ < 360^\circ\) — угол между осью \(X\) и отрезком \(OP'\).
  • \(z\) равна аппликате точки \(P\).

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения \((\rho,\;\varphi,\;z)\).

Некоторые математики используют \((r,\;\theta,\;z)\).

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось \(Z\) взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение \(x^2+y^2=c^2\), а в цилиндрических — очень простое уравнение \(\rho=c\). Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».[1]

Переход к другим системам координат[править]

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат[править]

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым: $$\begin{cases} x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end{cases}$$ Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим: $$\begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\ z=z. \end{cases}$$ Якобиан равен: $$J=\rho.$$

Дифференциальные характеристики[править]

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид: $$g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

  • Квадрат дифференциала длины кривой

$$ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2.$$

$$H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1.$$

$$\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}.$$Остальные равны нулю.

См. также[править]

Примечание[править]