Шестидесятеричная система счисления

Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ния — система счисления по целочисленному основанию 60 . Первая в истории позиционная система счисления. Появилась в древние времена в Междуречье.

Гипотезы происхождения

У современных учёных существует несколько гипотез происхождение шестидесятеричной системы, наибольшего внимания заслуживают следующие:

• Гипотеза Тюро-Данжена: основой для возникновения шестидесятеричной системы послужила шумерская десятирично-шестеричная система, безусловно, появившаяся раньше первой. Обе эти системы имеют генетическое родство: основания в шумерских системах —10 и 6, а в вавилонской—60=10*6. Выбор в качестве системы счисления числа 10 у шумеров, как и у всех других народов, естественно, связан с пальцевым счётом. Выбор числа 6 в качестве другого основания также обусловлен пальцевым счётом, но только имеющем свою особую технику. Различные вычисления, в том числе умножение и деление, при наличии двух оснований было производить сложно, поэтому древний математик, фиксируя промежуточные результаты умножения и деления, решил перейти к новой системе с одним основанием.
• Гипотеза проф. И. Н. Веселовского: основание 60 появилось в результате особого пальцевого счёта. Рассмотрим ладонь левой руки. Пусть каждая фаланга большого и указательного пальцев = 10 (5 фаланг—в сумме = 50), а остальные фаланги пальцев (их 9)— по единице. Тогда все фаланги в сумме дают 59, а ещё вся рука —60. На правой руке всё увеличиваем в 60 раз, тогда на обеих руках получим 3600=60². Такую гипотезу автор выдвинул исходя из способа, которым русские купцы в старину между собой обозначали стоимость тайной сделки с помощью пальцев рук, засунутых друг другу в широкие рукава кафтанов. Позиционный принцип записи автор объяснял использованием абаки (счётной доски с камешками). Следует заметить, что существование абаки у вавилонян не подтверждено (хотя, несомненно, счётные инструменты у них были), поэтому и его гипотезу инструментального происхождения позиционности системы пока нельзя проверить.
• Гипотеза О. Нейгебауэра(1927) : после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел в вавилонская математике.

Запись чисел

Каждая цифра кодировалась в двубуквенном алфавите — клин обозначал 1, клин — 10. Для более компактной и красивой записи клинья-единицы в цифре могли объединяться в группы, располагаясь ярусами, клинья-десятки также могли записываться в виде разных компактных комбинаций. Например пятьдесят шестая цифра так: , или так:.Число 60 снова записывалось как .

Клинья в цифре могли примыкать друг к другу вплотную, а при записи числа больше 60 между разрядами ставился пробел: — 165 (2*60+45). Вавилоняне не пользовались нулём, клин мог значить и 10, и 600, и $\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$. Что именно автор имеет в виду определялось из контекста документа. В V в. до н.э. появился специальный знак для нуля , но он использовался только в середине записи числа (например — 601), в конце записи он всё равно не ставился.

Применение

В Вавилоне, где собственно говоря, эта система появилась, она использовалась только в научных документах того времени (например, при составлении астрономических таблиц). В быту для простого обозначения числа и счёта и в клинописных табличках, если и содержащих, то только несложные, вычисления, применялась десятиричная непозиционная система.

Вавилонсяне передали её вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам. В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас остатки шестидесятеричной системы используются в измерении углов и времени.

Структура шестидесятеричного числа

Первый шестидесятеричный знак после запятой называется минута (′), второй — секунда (″). Ранее использовались названия терция (‴) для третьего знака, кварта (^IV) для четвёртого знака, квинта (^V) для пятого знака и т. д.

Примеры использования

• 1 радиан ≈ 57°17′45″ = $57 + \frac{17}{60} +\frac{45}{60^2}$ градусов.

• Николай Коперник в знаменитой работе «О вращениях небесных сфер» даёт значение сидерического года 365;15′24″10‴ дней, приблизительно 365,25671 дней.

Литература

• Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, 376 с.
• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского. 1959, 456 с.