Шестидесятеричная система счисления

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ниясистема счисления по целочисленному основанию 60 . Первая в истории позиционная система счисления. Появилась в древние времена в Междуречье.

Гипотезы происхождения[править]

У современных учёных существует несколько гипотез происхождение шестидесятеричной системы, наибольшего внимания заслуживают следующие:

  • Гипотеза Тюро-Данжена: основой для возникновения шестидесятеричной системы послужила шумерская десятирично-шестеричная система, безусловно, появившаяся раньше первой. Обе эти системы имеют генетическое родство: основания в шумерских системах —10 и 6, а в вавилонской—60=10*6. Выбор в качестве системы счисления числа 10 у шумеров, как и у всех других народов, естественно, связан с пальцевым счётом. Выбор числа 6 в качестве другого основания также обусловлен пальцевым счётом, но только имеющем свою особую технику. Различные вычисления, в том числе умножение и деление, при наличии двух оснований было производить сложно, поэтому древний математик, фиксируя промежуточные результаты умножения и деления, решил перейти к новой системе с одним основанием.
  • Гипотеза проф. И. Н. Веселовского: основание 60 появилось в результате особого пальцевого счёта. Рассмотрим ладонь левой руки. Пусть каждая фаланга большого и указательного пальцев = 10 (5 фаланг—в сумме = 50), а остальные фаланги пальцев (их 9)— по единице. Тогда все фаланги в сумме дают 59, а ещё вся рука —60. На правой руке всё увеличиваем в 60 раз, тогда на обеих руках получим 3600=602. Такую гипотезу автор выдвинул исходя из способа, которым русские купцы в старину между собой обозначали стоимость тайной сделки с помощью пальцев рук, засунутых друг другу в широкие рукава кафтанов. Позиционный принцип записи автор объяснял использованием абаки (счётной доски с камешками). Следует заметить, что существование абаки у вавилонян не подтверждено (хотя, несомненно, счётные инструменты у них были), поэтому и его гипотезу инструментального происхождения позиционности системы пока нельзя проверить.
  • Гипотеза О. Нейгебауэра[1](1927) : после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел в вавилонская математике.

Запись чисел[править]

Каждая цифра кодировалась в двубуквенном алфавите — клин Klin1.PNG обозначал 1, клин Klin10.PNG — 10. Для более компактной и красивой записи клинья-единицы в цифре могли объединяться в группы, располагаясь ярусами, клинья-десятки также могли записываться в виде разных компактных комбинаций. Например пятьдесят шестая цифра так: Klin56-1.PNG, или так:Klin56-2.PNG.Число 60 снова записывалось как Klin1.PNG.

Клинья в цифре могли примыкать друг к другу вплотную, а при записи числа больше 60 между разрядами ставился пробел: Klin165.PNG — 165 (2*60+45). Вавилоняне не пользовались нулём, клин Klin10.PNG мог значить и 10, и 600, и \(\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\). Что именно автор имеет в виду определялось из контекста документа. В V в. до н.э. появился специальный знак для нуля Klin0.PNG, но он использовался только в середине записи числа (например Klin10.PNGKlin0.PNGKlin1.PNG — 601), в конце записи он всё равно не ставился.

Применение[править]

В Вавилоне, где собственно говоря, эта система появилась, она использовалась только в научных документах того времени (например, при составлении астрономических таблиц). В быту для простого обозначения числа и счёта и в клинописных табличках, если и содержащих, то только несложные, вычисления, применялась десятиричная непозиционная система.

Вавилонсяне передали её вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам. В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас остатки шестидесятеричной системы используются в измерении углов и времени.

Структура шестидесятеричного числа[править]

Первый шестидесятеричный знак после запятой называется минута (′), второй — секунда (″). Ранее использовались названия терция (‴) для третьего знака, кварта (IV) для четвёртого знака, квинта (V) для пятого знака и т. д.

Примеры использования[править]

  • 1 радиан ≈ 57°17′45″ = \(57 + \frac{17}{60} +\frac{45}{60^2}\) градусов.

Примечания[править]

  1. Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, с. 100-101.

Литература[править]