Длина волны де Бройля

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность · Измерение · Неопределённость · Запрет Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Длина волны де Бройля — длина волны, которая проявляется у всех частиц в квантовой механике согласно корпускулярно-волновому дуализму, и определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства. Длина волны де Бройля обратно пропорциональна импульсу частицы.

Определение

В 1924 году французский физик Луи де Бройль предположил, что для частиц справедливы те же самые соотношения, что и для фотона: $$~ E= h \nu , \qquad \qquad c= \lambda \nu , \qquad \qquad E= \frac {hc} {\lambda} = pc,$$

где $~ E$ и $~ p$ – энергия и импульс фотона, $~ \nu$ и $~ \lambda$ – частота и длина волны фотона, $~ h$ – постоянная Планка, $~ с$ – скорость света.

Отсюда следует определение длины волны де Бройля через постоянную Планка и релятивистский импульс частицы: $$~\lambda_B = \frac {h} {p}. \qquad \qquad (1)$$

В отличие от фотонов, которые всегда движутся с одной и той же скоростью, равной скорости света, у частиц согласно специальной теории относительности импульсы зависят от массы $~ m$ и от скорости движения $~ v$ по формуле $$~ p = \frac {mv} {\sqrt {1-v^2/c^2} }.$$

Вывод формулы для длины волны де Бройля

Существует несколько объяснений тому, что в экспериментах с частицами проявляется длина волны де Бройля. Однако не все эти объяснения могут быть представлены в математической форме, либо они не дают физического механизма, обосновывающего формулу (1).

Волны внутри частиц

При возбуждении одних частиц другими в ходе эксперимента, или при столкновениях частиц с измерительными приборами, в частицах могут возникать внутренние стоячие волны. Это могут быть электромагнитные волны либо волны, связанные с сильным взаимодействием частиц, с сильной гравитацией в гравитационной модели сильного взаимодействия, и т.д. С помощью преобразований Лоренца можно пересчитать длину волны этих внутренних колебаний в длину волны, которую обнаруживает внешний наблюдатель, проводящий эксперимент с движущимися частицами. Расчёт даёт формулу для длины волны де Бройля, а также скорость распространения волны де Бройля: $$~ c_B = \frac { \lambda_B} {T_B }= \frac {c^2}{v},$$ где $~ T_B$ – период колебаний волны де Бройля.

Таким образом, выявляются основные черты, связанные с корпускулярно-волновым дуализмом – если энергия внутренних стоячих волн в частицах достигает энергии покоя этих частиц, то длина волны де Бройля вычисляется так же, как у фотонов при соответствующем импульсе. Если же энергия $~ E_e$ возбуждения частиц меньше энергии покоя $~ mc^2$, то длина волны получается по формуле: $$~\lambda_2 = \frac {h c^2 \sqrt {1-v^2/c^2} } {E_e v}= \frac {h} {p_ e } \geqslant \lambda_B, \qquad \qquad (2)$$

где $~ p_ e$ – импульс той массы-энергии, которая связана с внутренними стоячими волнами, и движется вместе с частицей со скоростью $~ v$.

Очевидно, что в экспериментах в основном проявляется длина волны де Бройля (1), как граничная и наименьшая величина для длины волны (2). В то же время эксперименты со множеством частиц могут не дать однозначного значения для длины волны $~\lambda_2$ по формуле (2) – если энергии возбуждения частиц не контролируются и различаются у разных частиц, то разброс значений будет слишком велик. Чем выше энергии взаимодействий и энергии возбуждения частиц, тем ближе они будут к энергии покоя и тем ближе будет длина волны $~\lambda_2$ к $~\lambda_ B$. Лёгкие частицы наподобие электронов быстрее приобретают скорость порядка скорости света, становятся релятивистскими и уже при малых энергиях демонстрируют квантовые и волновые свойства.

Кроме длины волны де Бройля, преобразования Лоренца дают ещё одну длину волны и её период: $$~\lambda_1 = \frac {h c \sqrt {1-v^2/c^2} } {E_e }= \frac {h v } { c p_ e }= \frac {\lambda_2 v}{c} = \lambda' \sqrt {1-v^2/c^2},$$ $$~ T_1 = \frac {\lambda_1} {v}.$$

Эта длина волны испытывает лоренцевское сокращение по сравнению с длиной волны $~\lambda'$ в сопутствующей частице системе отсчёта. Кроме этого, эта волна имеет скорость своего распространения, равную скорости движения частицы. В предельном случае, когда энергия возбуждения частиц равна энергии покоя, $~ E_e = mc^2$, для длины волны имеем: $$~\lambda_{1f} = \frac {h \sqrt {1-v^2/c^2} } { mc }.$$

Полученная длина волны есть не что иное, как комптоновская длина волны в эффекте Комптона, с поправкой на фактор Лоренца.

В представленной картине появление волны де Бройля и корпускулярно-волновой дуализм трактуются как чисто релятивистский эффект, возникающий как следствие лоренцевского преобразования стоячей волны, движущейся вместе с частицей. При этом, поскольку длина волны де Бройля ведёт себя подобно длине волны фотона с соответствующим импульсом, что объединяет частицы и волны, волны де Бройля считаются волнами вероятности, связанными с волновой функцией. В квантовой механике принимается, что квадрат амплитуды волновой функции в данной точке в координатном представлении задаёт плотность вероятности обнаружения частицы в этой точке.

У частиц электромагнитный потенциал спадает обратно пропорционально квадрату расстояния от частицы до точки наблюдения, потенциал сильного взаимодействия в гравитационной модели сильного взаимодействия ведёт себя аналогично. При возникновении внутренних колебаний в частице колеблется и потенциал поля вокруг частицы, и следовательно, амплитуда волны де Бройля быстро растёт при приближении к частице. Это как раз соответствует тому, что частица с большей вероятностью находится там, где больше амплитуда её волновой функции. Это верно для чистого состояния, например, для одной частицы. Если же имеется смешанное состояние, когда в учёт берутся волновые функции нескольких взаимодействующих частиц, трактовка, связывающая волновые функции и вероятности становится не такой точной. В этом случае волновая функция скорее будет отражать амплитуду суммарной волны де Бройля, связанную с амплитудой суммарного волнового поля потенциалов частиц.

Преобразования Лоренца для определения длины волны де Бройля были использованы также в статье.

Объяснение волны де Бройля через стоячие волны внутри частиц описывается также в статье. В отличие от этого, в статье предполагается, что внутри частицы имеется круговая электромагнитная волна. Согласно заключению в статье, за пределами движущейся частицы должна быть волна де Бройля с амплитудной модуляцией.

Электроны в атомах

Движение электронов в атомах происходит путём их вращения вокруг атомных ядер. В субстанциональной модели электроны представляют собой облака в форме дисков. Это является результатом действия четырёх приблизительно одинаковых по величине сил, возникающих: 1) от притяжения электрона к ядру за счёт сильной гравитации и кулоновского притяжения зарядов электрона и ядра, 2) от отталкивания заряженного вещества электрона самого от себя, 3) от убегания вещества электрона от ядра за счёт вращения, что учитывается центростремительной силой. В атоме водорода электрон в состоянии с минимальной энергией может быть моделирован вращающимся диском, внутренний край которого имеет радиус $~ \frac {1}{2} r_B$, а внешний край – радиус $~ \frac {3}{2} r_B$, где $~ r_B$ есть боровский радиус.

Если предположить, что на орбите электрона в атоме укладывается $~ n$ длин волн де Бройля, то при круговой орбите с радиусом $~ r$ для длины окружности и момента импульса электрона $~ L$ будет следующее: $$~ 2 \pi r = n \lambda_B, \qquad L= r p= \frac { n h }{2 \pi }, \qquad \lambda_B = \frac {h}{p}.\qquad (3)$$

Это соответствует постулату Боровской модели атома, по которому момент импульса в атоме водорода квантуется и пропорционален номеру орбиты $~ n$ и постоянной Планка.

Однако энергия возбуждений в веществе электронов в атомах на стационарных орбитах как правило не равна энергии покоя самих электронов, и потому пространственное квантование волны де Бройля вдоль орбиты в форме (3) следует объяснять другим способом. В частности было показано, что на стационарных орбитах в распредёлённом по пространству веществе электрона осуществляется равенство потока кинетической энергии вещества и суммы потоков энергии от электромагнитного поля и поля сильной гравитации.

В этом случае потоки энергии полей не тормозят и не раскручивают вещество электрона. Это даёт равновесные круговые и эллиптические орбиты электрона в атоме. При этом оказывается, что моменты импульса квантуются пропорционально постоянной Планка, что в первом приближении приводит к соотношению (3).

Кроме этого, при переходах с одной орбиты на другую, более близкую к ядру, электроны излучают фотоны, которые уносят из атома энергию $~ \Delta W$ и момент импульса $~ \Delta L$. Для фотона корпускулярно-волновой дуализм сводится к прямой связи между этими величинами, а их отношение $~\Delta W / \Delta L$ равно средней угловой частоте волны фотона и одновременно средней угловой скорости электрона $~ \omega$, излучающего при соответствующих условиях фотон в атоме при своём вращении. Если полагать, что у каждого фотона $~ \Delta L =\frac { h }{2 \pi }= \hbar$, где $~ \hbar$ есть постоянная Дирака, то тогда для энергии фотона имеем: $~ W = \hbar \omega$. В таком случае при атомных переходах момент импульса электрона также меняется на $~ \hbar$, и должна быть справедлива формула (3) для квантования момента импульса в атоме водорода.

При переходе электрона из одного стационарного состояния в другое в его веществе меняются кольцевой поток кинетической энергии и внутренние потоки полей, а также их импульсы и энергии. Синхронно с этим меняется энергия электрона в поле ядра, излучается энергия фотона, увеличивается импульс электрона и уменьшается длина волны де Бройля в (3). Таким образом, излучение фотона как кванта электромагнитного поля из атома сопровождается изменением энергии потоков поля в веществе электрона, оба процесса связаны с энергиями полей и с изменением момента импульса электрона, пропорционального $~ \hbar$. Из соотношения (3) кажется, что на электронной орбите можно расположить $~ n$ длин волн де Бройля. Но при этом энергия возбуждения электрона не достигает энергии его покоя, как это требуется для описания длины волны де Бройля при поступательном движении частиц. Вместо этого возникает связь между моментами импульса и потоками энергии в веществе электрона в стационарных состояниях, и связь при изменении этих моментов импульса и потоков при излучении фотонов.

Внешние ссылки

• De Broglie wavelength